книги из ГПНТБ / Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах

Д И О Ф А Н Т

Таким образом, 6а; равно а;2; ы а; получается равным 6. Меньшее будет 6, а большее 18. И они удовлетворяют

задаче.

37. Найти два числа в данном отношении и такие, чтобы квадрат меньшего имел бы заданное отношение к вместе взятым числам.

Пусть большее будет втрое больше меньшего, а квадрат меньшего вдвое больше суммы обоих.

Точно так же возьмем большее за За;, а меньшее х. Кроме того, квадрат меньшего будет вдвое больше суммы обоих чисел; но квадрат меньшего будет а;2, а вместе взя­ тые Ах. Значит, X2 равно удвоенным Ах.

Следовательно, 8а; равно а;2; и х равно 8.

И меньшее число будет 8, а большее 24. И они удовлет­ воряют предложенному.

38. Найти два числа в данном отношении и такие, чтобы квадрат меньшего имел заданное отношение к их разности.

Пусть большее равно утроенному меньшему, а квадрат меньшего в 6 раз больше разности; значит, хг будет в 6 раз

большего имел заданное отношение к меньшему;

итакже два числа в данном отношении такие, чтобы квадрат большего имел заданное отношение к этому боль­ шему;

иподобно этому два числа в данном отношении такие, чтобы квадрат большего имел заданное отношение к обоим вместе взятым;

иеще два числа в данном отношении такие, чтобы квадрат большего имел заданное отношение к их раз­ ности.

39.Для двух данных чисел подобрать еще одно число такое, чтобы из этих трех, складывая по два и умножая на третье, получились три числа с одинаковыми разно­ стями.

Пусть два заданных числа будут одно 3, а другое 5,

ипусть будет нужно подобрать еще одно число так, чтобы,

60

АРИФ М ЕТИКА К Н И ГА I

складывая по два и умножая на оставшееся, можно было получить три числа с одинаковыми разностями.

Пусть искомое будет х. Если мы сложим его с 5, то, получится X + 5; если же мы помножим это на оставшееся, то получится За; + 15. Затем, если мы х сложим с 3, то получится X + 3, умножив это на 5, получим 5а; + 15. И еще, если мы сложим 5 и 3 и полученное 8 умножим на х,

большим, или средним, но 8а; может оказаться и наиболь­ шим, и средним, и наименьшим, так как значение х остается неизвестным.

Предположим сначала, что наибольшим будет 5а: + + 15, наименьшим За; + 15, а средним, конечно, 8а;.

Если имеются три числа с одинаковой разностью, то сложенные наибольшее и наименьшее будут равны удво­ енному среднему; и наибольшее сложенное с наименьшим дает 8а; + 30, это будет равно 16а;. И х окажется равным

15/4.

Таким будет искомое число, удовлетворяющее пред­ ложенному.

Но пусть наибольшим будет 5а; + 15, средним За: + 15, а наименьшим 8а;.

Если имеются три числа с одинаковыми разностями, то на сколько большее превышает среднее, на столько же

исреднее будет превышать наименьшее; но наибольшее превышает среднее на 2х, а среднее большее наименьшего па 15 — 5а;.

Таким образом, 15 — 5а; равно 2х\ и х окажется равным 15/7. Таковым будет искомое число, и оно удовлетворяет задаче.

Но пусть теперь наибольшим будет 8а;, средним 5а: + 15

инаименьшим За; + 15.

Так как теперь опять наибольшее и наименьшее равны удвоенному среднему и наибольшее вместе с наименьшим дает 11а: + 15, то это вдвое больше среднего; среднее же будет 5а; + 15.

Следовательно, 10а; + 30 равно 11а; + 15; значит, искомое число будет 15, и оно удовлетворяет предложен­ ному.

61

Ди о Фа й Ф

КНИГА II

1. Найти два Гтаких числа, чтобы их сумма имела заданное отношение к сумме их квадратов.

Предположим, что их сумма является 10-й частью суммы их квадратов. Пусть меньшее будет х, а большее 2х; их сумма получается равной За;, а сумма их квадратов 5аг; следовательно, За; должны быть 10-й частью от 5а;2.

Следовательно, 30а; должно равняться 5а;2; и х ока­ зывается равным 6.

Таким образом, меньшее будет 0, а большее 12, и задача сделана.

2.Найти два таких числа, чтобы их разность имела заданное отношение к разности их квадратов.

Предположим, что их разность составляет 6-ю часть разности их квадратов.

Примем меньшее за х, а большее за 2х\ разность их оказывается равной х , разность же их квадратов За;2. Таким образом, х должен быть 6-й частью За;2.

Значит, 6х равно За;2; и х оказывается равным 2. Меньшее число будет 2, а большее 4, и задача сделана.

3.Найти два таких числа, чтобы их произведение имело заданное отношение к сумме или разности.

Предположим сначала, что произведение будет в 6 раз больше суммы.

Пусть искомые будут х и 2а;, которые могут иметь заданное отношение.

Тогда число, полученное их перемножением, будет 2а:2, а их сумма За;; значит, нужно, чтобы 2а;2 было в 6 раз больше За;.

Тогда 18а; равно 2а;2; сократим все на х. Значит, 18 равно 2а:; н х получается равным 9.

Первое число будет 9, а второе 18, и задача сделана. Если предположить, что произведение равно шести­ кратной разности, то произведение будет снова 2а;2, а раз­

ность X.

Снова 6а; будут равняться 2а;2; и х окажется равным 3.

62

А РИ Ф М ЕТИ К А К Н И ГА II

Первое число будет 3, а второе 6, и задача опять сде­ лана.

4.Найти два таких числа, чтобы сумма их квадратов имела заданное отношение к их разности.

Полошим, что сумма их квадратов равна удесятерен­ ной разности. Пусть опять одно будет х, а другое 2х.

Следовательно, сумма их квадратов будет 5х2, а раз­ ность X . Тогда нужно, чтобы 5а;2 было в 10 раз больше х.

Значит, 5а;2 равно 10а;; и х оказывается равным 2. 1-е число будет 2, а 2-е 4; и они решают задачу.

5.Найти два таких числа, чтобы разность их квадра­ тов имела заданное отношение к их сумме.

Пусть разность их квадратов будет в 6 раз больше суммы.

Опять возьмем искомые числа: одно х, другое 2а:; раз­ ность их квадратов будет За;2, а сумма За;; значит, нужно, чтобы За:2 было в 6 раз больше За:.

Таким образом, За;2 равно 18а;; и х оказывается рав­ ным 6.

Идоказательство очевидно.

6.Найти два числа с данной разностью и таких, что­ бы разность их квадратов превосходила разность этих чисел на заданное число.

Нужно, чтобы квадрат их разности был меньше этой разности, сложенной с заданной разностью между раз­ ностями квадратов чисел и самих чисел.

Положим, что разность этих чисел будет 2, а разность их квадратов превосходит их разность на 20.

Меньшее будет 41/2, а большее 6Ѵ2, и они удовлетво­ ряют предложенному.

7. Найти два таких числа, чтобы разность их квадра­ тов была на заданное число больше, чем их разность, взятая в некотором отношении.

Пусть разность их квадратов будет превышать на 10 утроенную их разность.

Нужно, чтобы квадрат их разности был меньше суммы утроенной разности и заданных 10.

63

Меньшее число будет 3, а большее 5, и задача решена х). 8*. Заданный квадрат разложить на два квадрата. Пусть надо разложить 16 на два квадрата. Положим,

что 1-й равен ж2; тогда 2-й будет 16 — ж2; следовательно, 16 — ж2 тоже равно кадрату.

Составляю квадрат из некоторого количества х минус столько единиц, сколько их найдется в стороне 16-ти;

Прибавим к обеим сторонам недостающее и вычтем подобные из подобных. Тогда 5ж2 равно 16ж; и х окажется равным 16 пятым.

Один квадрат 256/25, а другой 144/25; оба сложенных дают 400/25, или 16, и каждый будет квадратом.

И н а ч е . Пусть опять нужно квадрат 16 разложить на два квадрата.

Возьмем опять за х сторону 1-го квадрата, а сторону 2-го за сколько-нибудь х-ов минус столько единиц, сколь­ ко их будет в стороне разделяемого квадрата; пусть это будет 2ж — 4.

Таким образом, будут два квадрата — один ж2, а дру­ гой 4х2 + 16 — 16ж. Я хочу, чтобы два этих квадрата после сложения дали 16.

Следовательно, 5ж2 + 1 6 — 16ж равно 16; и х окажется

16/5.

Сторона 1-го квадрата будет 16/5, а сам он 256/25. Сторона же 2-го 12/5, а сам он 144/25; и доказатель­

ство очевидно.

9*. Данное число, которое складывается из двух квадра­ тов, подразделить на два другие квадрата.

Пусть число 13, составленное из квадратов 4 и 9, надо подразделить на два другие квадрата.

Возьмем стороны 2 и 3 упомянутых квадратов и по­ ложим стороны искомых квадратов: одну равной х + 2,

•) Тавнери считает эти семь предложений нсподлиннымп; в теист пторой книги они попали из древнего комментария к 1-й кпиге. (Hptui. ре0.)

64

Д И О Ф А Н Т

Следовательно, прибавляемое число будет 97/64, и предложенное очевидно.

Чтобы избежать решения двойного равенства, нужно вести доказательство так: для 2 и 3 надо подыскать неко­ торое число, которое, будучи прибавлено к 2 икЗ, образо­ вало бы квадрат. Сначала ищу некоторое число, которое вместе с 2 образует квадрат, или некоторое число, которое вместе с 3 образует квадрат. От какого-нибудь из этих квадратов отнимают заданные единицы; остаток и будет искомым. Пусть это будет 2 единицы; вычтем их из х2; остаток будет х2 — 2, и ясно, что если добавим 2, то полу­ чим квадрат. Теперь остается получить квадрат при­ бавлением 3 единиц; но если к х2 — 2 прибавить 3, то получится X2 + 1; это должно равняться некоторому квадрату. Образую квадрат на.сминус такое число единиц, чтобы значение х2превзошло бы те единицы, которые были ранее взяты вычитаемыми, как в рассматриваемом случае 2; тогда опять в каждой из частей останется по одному виду. Пусть это квадрат на а; — 4; он будет х2 + 16 — 8х; это должно равняться х2 + 1. Придадим к обеим частям недостающее и отнимем подобные от подобных; останутся

Пусть задано отнять одно и то же число от 9 и 21 и сделать каждый из остатков квадратом. От каждого из этих чисел отниму какой-нибудь квадрат и возьму остаток; он, будучи отнят, составит квадрат. Пусть х2 будет квадрат, отнимаемый от 9; остаток будет 9 — х2.

Нужно теперь отнять 9 — х2 от 21 и получить квадрат. Но если я от 21 отниму 9 — х2, то останется х2 + 12; это будет равно некоторому квадрату.

Образую квадрат на х минус столько единиц, чтобы их квадрат был больше 12; так опять с каждой из сторон [равенства] останется по одному виду. Пусть этих еди­ ниц будет 4; тогда сам квадрат получится как х2 + 16 — 8х; это равно X2 + 12; подобные от подобных; останется 8х, равные 4; и X равен 4/8.

Но 9 единиц сводятся к 72/8, или 576/64, а вычитание из них недостающего х2, или 16/64, удовлетворяет зада­ нию.

66

а р и ф м е т и к а К н и г а i t

13. От одного и того же числа отнять два заданных числа и сделать квадратом каждый из остатков.

Пусть задано от одного и того же числа отнять 6 и 7 и сделать каждый из остатков квадратом.

Возьмем за искомое х\ если мы отнимем от него 6, то остаток X — 6 = 0 , а если 7, то остаток х — 7 = 0 ; и для них мы опять имеем двойное равенство.

Так как разность [7—6] является единицей и записы­ вается, как произведение 2 на х/2, то заключаем, что X = 121/16, что и решает задачу.

Чтобы не заниматься двойным равенством, нужно решать так. Сначала я ищу, от какого числа следует от­ нять 6, чтобы получить квадрат. К этому квадрату я, ко­ нечно, прикладываю 6, это и будет искомое. Пусть [ква­ драт] будет х2\ тогда искомое получится как о? + 6; и ясно, что если от этого я отниму 6, то отстаток будет квадратом. Следовательно, нужно будет отнять 7 от x2jr

Искомое будет 121/16, что и решает задачу.

14. Данное число разложить на два числа и найти квадрат, который, будучи приложен к каждой из частей, образует квадрат.

Пусть 20 требуется разложить на два числа. Возьмем два числа таких, чтобы сумма их квадратов

была меньше 20; пусть они будут 2 и 3; если прибавить

получим искомые, которые, естественно, после приба­ вления квадратов образуют квадраты. Но если я отниму X 2 , то остатки будут Ах + 4 и 6ж + 9. Тогда нужно будет, чтобы их сумма, т. е. 10а: + 13, равнялась 20; и х полу­ чается 7/10; 1-е будет 68/10, а 2-е 132/10, и они удовлет­ воряют задаче.

15. Данное число разложить на два числа и найти квадрат, который без каждого [из этих чисел] становится квадратом.

Пусть опять будет задано разложить 20 на два числа. Возьмем искомый квадрат на стороне х плюс столько единиц, чтобы их квадрат не превосходил 20. Пусть это

Д Й О & А Н Т

будет X + 2. Тогда квадрат будет а;2 + 4а; + 4; п ясно, что после вычитания 4а: + 4 останется квадрат. И также

он по вычитании каждого из этих чисел образует квадрат. Остается, чтобы два этих числа были равны подразде­ ленному. Но эти два числа дают 6ж + 7 и должны быть равны 20. Отнимаем подобные от подобных, и х получается

чтобы каждое из них вместе с заранее данным квадратом давало квадрат.

Пусть большее из этих чисел будет втрое больше мень­ шего и каждое из них вместе с '9 образует квадрат.

От некоторого квадрата, сторона которого есть коли­ чество £-ов, сложенных с 3, отнимаю 9; остаток будет одним из искомых. Пусть меньшее число будет а;2 + 6а;, тогда большее будет За;2 + 18а;.

Следовательно, нужно будет, чтобы последнее число, сложенное с 9, было квадратом. Но оно вместе с 9 будет За;2 + 18а: + 9; это же равно квадрату.

Образую квадрат на 2а; — 3; и а; будет 30.

Меньшее число равно 1080, большее 3240; вместе с 9 они удовлетворяют предложенному.

17 2). Найти три таких числа, чтобы каждое давало следующему за ним данную свою часть и, кроме того, данное число единиц, так чтобы давшие и получившие

оно дает 6-ю часть (т. е. х) и 7 и делается равным 6х — 1. Но 1-е, отдав свою 5-ю часть и еще 6, становится рав­ ным 4а: — 6. И оно должно получить от 3-го 7-ю часть:

*) Задачи 17 и 18 Таинерп ие считает подлинными; по-видимому, они взяты из древнего коммептария к книге 1. См. задачи Ilt и І„ . (Прим, перса.)

68

А РИ Ф М ЕТИ К А К Н И ГА И

и8 и стать равным 6а; — 1. Ыо если 4х — 6 получит 2х +

+5, то выйдет 6а; — 1. Следовательно, 2х + 5 будет 7-й частью 3-го и еще 8.

Если от 2а; + 5 отниму 8, то останется 2а; — 3; остаток 2а: — 3 будет 7-й частью 3-го, и, значит, само 3-е будет

14а; — 21.

После этого нужно, чтобы оно [а:3], получив от сред­ него [а;а] 6-ю часть и 7 и отдав 7-ю часть н 8, стало равным 6а; — 1. Но когда оно отдаст 7-ю часть и 8, то в остатке будет 12а; — 26, а получив от среднего 6-ю его часть и 7, оно станет 13а; — 19; это равно 6а; — 1. И х окажется равным 18/7.

Тогда 1-е число будет 90/7, 2-е 108/7, 3-е 105/7; и они удовлетворяют предложению.

18. Данное число разложить на три таких числа, что­ бы каждое полученное от разложения число превышало следующее за ним на заданную часть и еще на заданное число и все давшие и получившие числа сделались бы равными.

Пусть требуется 80 разложить на три таких числа, чтобы 1-е давало 2-му свою 5-ю часть и еще 6, 2-е же 3-му —

X, и 6, будет X ~Ь 18; когда же оно отдаст 3-му шестую часть и еще 7, то будет х + 9; теперь остается, чтобы все осталь­ ные числа, отдав и получив, стали равными.

Но если 1-е дает свою 5-ю часть и 6, то остается Ах — —6. Следовательно, нужно, чтобы оно, получив от 3-го его

69