2. Линейное пространство. Линейная зависимость. Базис

Линейным пространством L называется множество элементов, для которых определены операции сложения двух векторов и умножения вектора на число, обладающие следующими свойствами

1. Для любых векторов а и b из линейного пространства

а + b = b + а (коммутативность сложения).

В символьной записи это свойство будет иметь вид

 a,b  L  а + b = b + а .

2.  a,b,с  L ( а + b) + с = а + ( b + c) ( ассоциативность).

3.  О  L  a  L  а + О = а (существование нулевого вектора).

4.  a  L  (- а)  L (противоположный вектор)  а + (-а) = О.

5.    R,  a,b  L   (а + b ) = а +b.

6.   ₁,  ₂  R ,  a  L  (  ₁ +  ₂) а =  ₁а +  ₂а .

7.   ₁,  ₂  R ,  a  L  (  ₁ ₂) а =  ₁( ₂ а ).

8.  a  L  1а = а .

Линейными пространствами, в частности, являются: множество действительных чисел; множество векторов на плоскости или в пространстве; множество всех функций, определенных на каком-нибудь отрезке и т.д.

Определение 21. Линейной комбинацией векторов а₁, а₂, …, а_n называется

сумма с₁ а₁ + с₂а₂ + …+ с_nа_n, где коэффициенты

с₁, с₂, …, с_n– действительные числа.

Определение 22. Совокупность векторов а₁, а₂, …, а_n линейного

пространства называется линейной зависимой, если их

линейная комбинация равна нулю

с₁ а₁ + с₂ а₂ + …+ с_n а_n = 0

и при этом хотя бы один из коэффициентов с₁, с₂, …, с_n

отличен от нуля.

Определение 23. Совокупность векторов а₁, а₂, …, а_n называется

линейно независимой, если равенство

с₁ а₁ + с₂ а₂ + …+ с_n а_n= 0

выполняется лишь в случае, когда все коэффициенты

с₁, с₂, …, с_n равны нулю.

Утверждение 1. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух векторов на плоскости является их коллинеарность.

Утверждение 2. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости трех векторов в пространстве является их компланарность.

Определение 24. Базисом в линейном пространстве L называется

упорядоченная система А ( А = { а₁, а₂, …, а_n })

максимально возможного числа векторов {а₁, а₂, …, а_n},

удовлетворяющая условиям:

1) совокупность векторов а₁, а₂, …, а_n линейно независима;

2) любой вектор a  L в системе векторов А единственным

образом представляется в виде их линейной комбинации

а = х₁ а₁ + х₂ а₂ + …+ х_n а_n.

Числа ( х₁, х₂, …, х_n ) называются координатами вектора а в базисе

{ а₁, а₂, …, а_n }.

Размерность линейного пространства L определяется максимальным числом n линейно независимых векторов и обозначается dim L (dim L = n ). Если это число конечно, то такое пространство L называется конечномерным.

Любая пара неколлинеарных векторов а₁, а₂ на плоскости является базисом множества всех векторов, лежащих на плоскости.

Любая тройка некомпланарных векторов а₁, а₂, а₃ в трехмерном пространстве является базисом множества всех векторов, лежащих в этом пространстве.

В случае декартовой прямоугольной

системы координат в трехмерном

пространстве в качестве базисных выбирают

единичные векторы

i = (1,0,0), j = (0,1,0), k = (0,0,1) ,

которые:

а) линейно независимы;

б) имеют длину, равную единице, т.е. i = j = k = 1;

c) по направлению совпадают с направлением осей

Рис. 5 координат OX, OY, OZ.

Векторы i, j ,k называются ортами и образуют базис.

Любой произвольный вектор а в этом трехмерном базисе может быть представлен в виде линейной комбинации а = х i + у j + z k или а = ( х, у, z ), где х, у, z - координаты ветора а в базисе { i, j, k }.