1.3 Кривые второго порядка

Кривые второго порядка – линии, определяемые в декартовых координатах алгебраическими уравнениями второй степени (16):

Ах ² + Вху + Су ² + Dx + Ey + F =0 .

Такими линиями являются – эллипс, гипербола, парабола, пара прямых. Они часто встречаются в различных вопросах естествознания и техники. Например, детали круглой формы и вращательное движение в технике; движение планет и искусственных спутников Земли по эллипсам; для функции у = графиком является гипербола; при сложении двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний, сдвинутых по фазе на ,

получается уравнение эллипса .

Окружность является частным случаем эллипса (когда a = b), но целесообразно её самостоятельное изучение.

Следует знать канонические и параметрические уравнения окружности, эллипса, гиперболы и параболы.

При определенных соотношениях между коэффициентами А, В, С, D, E из уравнения (16) следуют канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы. Сведем их для удобства в таблицу 1.

Таблица 1

	Эллипс	Гипербола	Парабола
Каноническое уравнение
Малая полуось			__
Эксцентриситет			 = 1
Асимптоты			
Фокальные радиусы	z 1 = a + x z 2 = ax	правая ветвь z1 = x + a z2 = xa левая ветвь z 1 = xa z 2 = x + a
Директрисы

Вопросы для самопроверки

1. Что такое эллипс и каково его каноническое уравнение?

2. Что такое гипербола и каково ее каноническое уравнение?

3. Что такое парабола и каково ее каноническое уравнение?

4. Что такое эксцентриситет и каким он может быть у эллипса, у

гиперболы, у параболы?

5. Какие из кривых второго порядка имеют асимптоты и каковы их

уравнения?

6. Какая линия называется алгебраической и как определяется ее порядок?

2. Аналитическая геометрия в пространстве

2.1 Поверхности, линии и их уравнения

Пусть задана декартова прямоугольная система координат ОХУZ в пространстве и некоторая поверхность S.

Определение 27. Уравнение F(x,y,z) = 0 называется уравнением поверхности

S относительно заданной системы координат, если этому

уравнению удовлетворяют координаты x, y и z любой точки,

лежащей на поверхности S, и не удовлетворяют координаты

x, y и z ни одной точки, не лежащей на поверхности S.

Например, уравнению удовлетворяют координаты тех и только тех точек, которые находятся от заданной точки О₁(а,b,с) на заданом расстояния R. Следовательно, это уравнение является уравнением сферы радиуса R с центром в точке О₁.

Уравнение же х² + у² = 1 в пространстве определяет цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси ОZ .

Обратите внимание на то, что если в уравнении F(х,у,z) = 0 отсутствует одна из координат, как в предыдущем примере, то это означает, что поверхность, определяемая этим уравнением, цилиндрическая с образующей, параллельной оси ОX или ОY, или ОZ в зависимости от того, какая из координат отсутствует в исходном уравнении.

Всякая линия в пространстве может рассматриваться как пересечение двух поверхностей. Отсюда следует задание линии в пространстве системой двух уравнений поверхностей:

.