Свойства сложения матриц

1. А + В = В + А (коммутативность).

2. (А + В) + С = А + ( В + С) (ассоциативность).

3. А + О = О + А = А .

Определение 12. Произведением матрицы на число  называется матрица В

тех же размеров, что и матрица А, причем b_ij = а_ij i, j.

Пример 6. 3

Свойства умножения матрицы на число

1.    (ассоциативность).

2.       (дистрибутивность).

3.        (дистрибутивность).

Пример 7. 2

Определение 13. Произведением двух матриц А и В называется матрица С,

у которой элемент с_ij равен сумме произведений каждого

элемента i –й строки матрицы А на соответствующие

элементы j –го столбца матрицы В

c_{i j}= (i = 1,2, …,m; j = 1,2, … , n).

Замечание 1. Умножение двух прямоугольных матриц возможно только в том случае, когда число столбцов левой матрицы равно числу строк правой матрицы, т.е.

А _mk  B _kn = C _mn .

Замечание 2. Произведением двух квадратных матриц А и В одинакового размера является квадратная матрица С того же размера.

Пример 8. Найти произведение АВ, если А = и В =

Решение. АВ =

= .

Свойства умножения матриц

1. (АВ)С = А(ВС) (ассоциативность).

2. (А + В)С = АС + ВС (дистрибутивность).

3. АВ  ВА (вообще говоря) – отсутвие коммутативности.

4. АО = О; ОА = О .

5. АЕ = А ;ЕА = А.

Определение 14. Матрицы А и В, для которых АВ = ВА называются

коммутирующими (или перестановочными).

2. Определители и их свойства. Обратная матрица. Ранг матрицы

Понятие определителя возникло в связи с задачей решения систем линейных уравнений.

Определитель матрицы А = (а _{i j}) есть некоторое число, равное алгебраической сумме из n! произведений, построенных из элементов матрицы по определенным правилам.

Обозначение: определитель матрицы А обозначается следующим образом

= Δ.

Рассмотрим определители 2-го и 3- го порядков.

Определение 15. Определителем 2-го порядка, соответствующим

квадратной матрице А = , называется число

равное а₁₁а₂₂ – а₂₁а₁₂.

Определение 16. Определителем 3-го порядка, соответствующим

квадратной матрице 3-го порядка А =

называется число, равное

а₁₁ - а₁₂ + а₁₃

Такой способ вычисления определителя называется «разложением определителя по первой строке».

В дополнение к этому для вычисления определителя третьего порядка можно воспользоваться также «правилом треугольников», которое символически записывается следующим образом

Пример 9. Вычислить .

Решение. Способ 1 – методом «разложения по первой строке»:

Способ 2 – по «правилу треугольников»:

А 1(-1)3 + 3(-3)(-1) + 22(-2) – (-1)(-2)(-1) – 23(-3) - 123 =

= 3 + 9 8 + 2 + 18  6 = 12.

Общим методом вычисления определителей 3-го и более высоких порядков является метод разложения определителя по любой строке или по любому столбцу. Для этого требуется ввести новые понятия.

Определение 17. Минором к-го порядка произвольной матрицы А

называется определитель, составленный из элементов

матрицы, расположенных на пересечении каких-либо k строк и

k столбцов.

Для матрицы А = можно указать, например, такие миноры 2- го порядка: и т. д., и миноры 3- го порядка :

, , и .

Миноров более высокого порядка у матрицы нет.

Определение 18. Минором М _{i j} к элементу а _{i j} определителя квадратной

матрицы А называется определитель, полученный из

данного вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

Для матрицы А = минор М_{3 2} равен М_{3 2} = .

Определение 19. Алгебраическим дополнением А_{i j} к элементу а _{i j}

квадратной матрицы А называется число

А _{i j} = .

Пример 10. Найти А_{2 3} для матрицы из примера 9 :

Решение. А_{2 3} = (-1) ³⁺²М_{3 2} = (-1) (-6) = 6.

Пример 11. Вычислить определитель detA = , разложив его:

а) по элементам второй строки; б) по элементам первого столбца.

Решение:

а) detA = 2(-1)²⁺¹ (-1)(-1) ²⁺² + 1 (-1) ²⁺³ =

= 6 –1 + 5 = 10.

б) detA = 1(-1) ¹⁺¹ + 2(-1)²⁺¹ + 3(-1) ³⁺¹ =

= 1 + 6 + 3 = 10.

При вычислении определителей полезно знать свойства определителей. Это позволит упростить вычисление определителя.