3. Собственные значения и собственные векторы матрицы.

Характеристическое уравнение

Во многих областях науки и техники, например, электро- и радиотехнике, механике, экономике, в теории кодирования и обработки сигналов широко используется понятие «собственное значение» и «собственный вектор».

Определение 25. Число  называется собственным значением, а ненулевой вектор х называется собственным вектором матрицы А, задающей линейное преобразование, если они связаны между собой соотношением

Ах = х ( А Е ) х = О. ( 8 )

Это матричное уравнение задает систему однородных линейных уравнений:

, ( 9 )

которая имеет ненулевое решение в том случае, когда ее определитель А Е равен нулю.

Определение 26. Характеристическим уравнением квадратной матрицы А называется уравнение

А Е = 0 .

Пример 24. Найти собственные значения и собственные векторы линейного

преобразования с матрицей А = .

Решение. Составим характеристическое уравнение А Е = 0 

(7 )[(5 )(6 )  4] + 2  (-2)(5 ) =

= ³ + 18² 99 + 162 = 0  (3 )( 15 + 54) = ( 3)( 6)( 9) = 0.

Таким образом нашли собственные значения линейного преобразования с матрицей А, равные: ₁ = 3, ₂ = 6, ₃ = 9.

Найдем собственный вектор, соответствующий собственному значению

₁=3. Подставим  = 3 в систему ( 9 ) и получим .

С помощью элементарных преобразований получим систему, эквивалентную

данной , ранг которой r = 2. Так как число неизвестных в

системе n = 3 r = 2, то в качестве базисных выберем переменные х₁ и х₂, а свободной переменной будет х₃ . Полагая х₃= 2t, где t – произвольное число, из последней системы найдем: х₂ = 2t , х₁ = t.

Таким образом собственному значению ₁ = 3 соответствует собственный

вектор Х ₁ = . Аналогично, собственным значениям ₂ = 6 и ₃ = 9 соответствуют собственные векторы Х ₂ = и Х ₃ = .

4. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов

Для двух векторов а и b определены операции скалярного и векторного произведения, а для трех векторов a, b и с – операция смешанного произведения, которые обладают рядом свойств.

Скалярным произведением двух векторов a и b называется число (a,b), равное произведению длин этих векторов, умноженному на косинус угла  между ними

(a,b)= abcos (a,b) = ab cos  = aпр_bа. (10)

Если векторы a и b определены своими декартовыми координатами

а = ( x _a, y _a, z _a ) ; b = ( x _b, y _b, z _b), то их скалярное произведение будет равно

(a,b) = x_a x_b + y_a y_b + z_a z_b . (11)

Алгебраические свойства скалярного произведения

1. (a,b) = (b,a) .

2. ( a,b) = (a,b).

3. (a+b,с) = (a,с) +(b,с).

4. (a,а)  0 для любого а.