- •Федеральное агентство связи
- •Московский технический университет связи и информатики Кафедра теории вероятностей и прикладной математики
- •Высшая математика
- •Часть 1 линейная алгебра и аналитическая геометрия
- •1 Семестр
- •Часть 1
- •Введение
- •Рабочая программа
- •Список литературы
- •Тематика лекций
- •Тематика упражнений
- •1. Самостоятельная работа над учебником
- •2. Решение задач
- •3. Выбор варианта
- •4. Выполнение контрольных работ
- •Определение 1. Прямоугольная таблица чисел или иных математических
- •Свойства сложения матриц
- •Свойства умножения матрицы на число
- •Свойства умножения матриц
- •2. Определители и их свойства. Обратная матрица. Ранг матрицы
- •Свойства определителей
- •Ранг матрицы
- •Порядок нахождения ранга матрицы
- •Ранг ступенчатой матрицы равен числу её ненулевых строк
- •Вопросы для самопроверки
- •3. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Крамеровские системы уравнений. Теорема Кронекера–Капелли Система линейных алгебраических уравнений
- •2. Элементы векторной алгебры
- •1. Векторы и действия над ними
- •2. Линейное пространство. Линейная зависимость. Базис
- •3. Собственные значения и собственные векторы матрицы.
- •4. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов
- •Геометрические свойства скалярного произведения
- •Алгебраические свойства векторного произведения
- •Геометрические свойства векторного произведения
- •Алгебраическое свойство смешанного произведения
- •Геометрическое свойство смешанного произведения
- •Вопросы для самопроверки
- •3. Аналитическая геометрия
- •1. Аналитическая геометрия на плоскости
- •1.1 Линии и их уравнения. Уравнение прямой на плоскости
- •1.2 Уравнение прямой на плоскости
- •1.3 Кривые второго порядка
- •Вопросы для самопроверки
- •2. Что такое гипербола и каково ее каноническое уравнение?
- •2. Аналитическая геометрия в пространстве
- •2.1 Поверхности, линии и их уравнения
- •2.2 Плоскость и прямая линия Различные виды уравнения плоскости
- •Вопросы для самопроверки
- •2.3 Поверхности 2-го порядка
- •Вопросы для самопроверки
- •Вариант 0
- •Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Высшая математика
- •Часть 1 линейная алгебра и аналитическая геометрия
- •1 Семестр
Вариант 2
Решить систему линейных уравнений методом Гаусса
Варианты |
|
Варианты |
|
02 |
3x + 2z + u = –5 –4x–3y +5z–2u =–1 –2x–4y+6z+u = 4 –x–3y+ 7z – u =–6 |
52 |
x–3y + 4z +2u = –3 –y –5z –3u = 5 2x +2y –z +u = –2 2x +y –6z –2u = 4 |
12 |
2y +3z –u = 9 –2x –6y +z +2u =–2 –2x –5y –3z +u =–8 –2x –4y +4z +u = 8 |
62 |
–2x +4y +4z +u =–4 5x –5y –3z +u = –3 3y +3z +u = –2 –2x +7y+7z+4u =–6 |
22 |
–x +3y +2z+3u = –7 –4x +6y –6z –2u =8 –2x +5y –u = 3 –6x+11y–6z–3u=11 |
72 |
6x –3y –6z –3u = 6 –3x –4y +6z –u = 6 6x +4y –4z +2u = 4 3x +2z + u = 9 |
32 |
4x +4y –z –2u = 5 –3y +3z –u = 5 –2x –y –z –u = –7 4x +y +2z –3u = 11 |
82 |
–5x+2y +4z+3u =–3 –3x –4y +6z –u = 6 4x –5y –3z –3u = 5 x –9y +2z –5u = 6 |
42 |
6x +y –z +u = –8 5x +4y +z –3u = 4 –x –2y +4z +2u = 5 11x +5y –2u = –4 |
92 |
4x –2y +z +2u = –7 –3x –5y –z –2u =–9 y –6z +3u = 6 –3x –2y–7z +u = –2 |
2. Даны координаты вершин треугольника АВС. Требуется:
1) вычислить длину стороны ВС;
2) составить уравнение стороны ВС;
3) вычислить длину высоты, проведенной из вершины А;
4) составить уравнение этой высоты.
Варианты |
02 |
12 |
22 |
32 |
42 |
А(x1;y1;) В(x2;y2;) С(x3;y3;) |
(20, -7) (-19, 15) (-7,-1) |
(0, 4) (7,-10) (15,-16) |
(-12, 19) (3, 3) (15,-2) |
(-18, 8) (12, 8) (16, 11) |
(17, 18) (8, 11) (-7,-9) |
Варианты |
52 |
62 |
72 |
82 |
92 |
А(x1;y1;) В(x2;y2;) С(x3;y3;) |
(-14, 1) (-7,-10) (-3,-7) |
(14,-9) (-10,-12) (0, 12) |
(-18, 20) (0, 9) (-12,-7) |
(14, 3) (15, -2) (-9,-12) |
(-4,-9) (15,-12) (12,-16) |
3. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Средствами векторной алгебры найти:
1) угол между ребрами А1А2 и А1А4;
2) площадь грани А1А2А3;
3) объем пирамиды А1А2А3А4;
4) уравнение плоскости основания пирамиды А2А3А4;
5) уравнение высоты пирамиды, проведенной из вершины А1.
Варианты |
02 |
12 |
22 |
32 |
42 |
А1(x1;y1;z1) А2(x2;y2;z2) А3(x3;y3;z3) А4(x4;y4;z4) |
(2,-5, 2) (-4,-3,-7) (-2, 2, 6) (4, 1, 5) |
(2,-3, 2) (-2,-3, 5) (8,-1, 5) (-5,-9,-4) |
(4, 4,-7) (4,-2, 1) (10,1,-5) (4,-7,-7) |
(-4, 5,-7) (2, 5, 1) (-4, 9,-7) (-5, 3,-9) |
(-1, 8,-9) (8, 2,-7) (8, 8,-9) (-1, 7,-9) |
Варианты |
52 |
62 |
72 |
82 |
92 |
А1(x1;y1;z1) А2(x2;y2;z2) А3(x3;y3;z3) А4(x4;y4;z4) |
(-3, 4, 2) (5, 3, 6) (3, 10, 9) (5, 3,-2) |
(5, 5, 2) (3, 5, 2) (6, 1, 10) (5, 5,-7) |
(-3,10,-2) (-5, 8,-1) (5, 9,-6) (3, 3, 4) |
(5, 4, 1) (6, 4, 1) (5, 4, 4) (3, 7, 7) |
(1,-4, 3) (2,-4, 3) (8, 2, 9) (1,-4, 7) |
4. 1) Составить уравнение поверхности, образованной вращением линии вокруг оси ОХ.
2) Подобрать значение параметра p так, чтобы точка А(x0;y0;z0) лежала на поверхности.
3) Сделать схематический чертёж.
Варианты |
Данные |
задачи |
|
Уравнение линии в плоскости y = 0 |
А(x0;y0;z0) |
02 |
px –2 = z2 |
(2;-2; 2) |
12 |
x + p = z2 |
(1; 3; 2) |
22 |
px2 = z2 |
(1; 0; -1) |
32 |
px = z2 |
(2; -2; 2) |
42 |
px2 = z2 – 4 |
(2; -5; 1) |
52 |
5x2 + pz2 = 10 |
(2; 3; 3) |
62 |
p – x2 = z2 |
(2; 1; 1) |
72 |
px2 + z2 = 4 |
(0; 1; 1) |
82 |
px2 + z2 = 0 |
(1;-2; 1) |
92 |
px + 4 = z2 |
(1;-1; 2) |