Вопросы для самопроверки

1. Объясните смысл параметров в уравнениях

; .

2. Напишите уравнения:

а) плоскости ХОZ;

б) осей ОУ, ОХ, ОZ.

3. Каково взаимное расположение прямой

и плоскости 3х + 2у – 5 = 0?

2.3 Поверхности 2-го порядка

Студент должен уметь распознавать указанные в таблице две поверхности 2-го порядка по их каноническим уравнениям, используя при этом метод сечений.

Таблица 2

Каноническое уравнение	Название	Схематический чертеж
	Трехосный эллипсоид
	Однополостный гиперболоид
	Двуполостный гиперболоид
	Эллиптический параболоид
	Гиперболический параболоид
	Конус 2-го порядка

Следует, также, обратить внимание на цилиндры 2-го порядка

; ; у²= 2рх

и на поверхности вращения 2-го порядка. Например, если в уравнении однополостного гиперболоида

Положить а = b, то в сечении поверхности плоскостью z = h будут получаться окружности

,

следовательно, в этом случае поверхность является однополостным гиперболоидом вращения (он получается вращением гиперболы

вокруг оси ОZ).

Пример 32. Составить уравнение поверхности, образованной вращением линии x² - pz² = 4 вокруг оси OZ. Подобрать значение параметра р так, чтобы точка А(1,2,-1) лежала на этой поверхности. Указать название полученной поверхности и сделать её эскиз.

Решение. Уравнением вращения линии F(x,z) = 0 вокруг оси OZ является уравнение

,

так как при вращении вокруг оси OZ в уравнении без изменения остается координата z , а х заменяется на (аналогичный факт имеет место и по отношению к поверхностям, получаемым вращением плоских линий вокруг других координатных осей).

Таким образом, в рассматриваемом примере получим уравнение

или x² + y² – pz² = 4.

Найдем параметр р , учитывая требования задачи. Координаты точки А должны удовлетворять найденному уравнению поверхности. Подставляя координаты точки в уравнение, получим 1+ 4  р = 4 р = 1. Тогда искомое уравнение примет вид

x² + y² – z² = 4 или в канонической форме .

Это уравнение описывает однополостный гиперболоид вращения.

Пример 33. Построить поверхность, определяемую уравнением:

9 x² + 4 y²+ 36 z² -18x - 16y +216 z + 313 = 0.

Для выполнения задания необходимо:

а) привести данное уравнение поверхности к каноническому виду;

б) определить вид поверхности и ее расположение относительно системы координат;

с) записать название поверхности и сделать чертеж.

Решение. Группируем члены уравнения, содержащие одинаковые переменные:

(9 x² - 18 x) + (4 y² - 16 y) + (36 z² + 216 z) + 313=0 

9( x² - 2 x) + 4( y² - 4 y) + 36( z² + 6 z) + 313=0.

Выделяем полный квадрат в каждой скобке:

9((x²  2x +1)  1) + 4((y² 4y+ 4)  4)+36((z²+ 6z + 9)  9) + 313 = 0 .

Получим 9((x1) ²1) + 4((y2) ² 4) + 36((z+3) ²9) + 313 = 0 

9(x1) ²9 + 4(y-1) ²16 + 36(z+3) ²324 + 313=0 

9(x1) ² + 4(y2) ² + 36(z+ 3) ² = 36 .

Разделим обе части уравнения на свободный член и получим каноническое уравнение эллипсоида с центром в точке О₁(1,2,-3)

.

Для построения этого эллипсоида сделаем в уравнении замену переменных

x1= x₁, y2 = y₁, z +3 = z₁ .

В новых переменных уравнение эллипсоида примет вид:

.

Сделаем чертеж. Для этого через центр эллипсоида O₁(1,2,-3) проведем оси

O₁X₁ , O₁Y_1, O₁Z₁ , и в этой системе координат построим эллипсоид

, где a = 2 , b = 3 , c = 1 (рис. 7).

Рис. 7