- •Федеральное агентство связи
- •Московский технический университет связи и информатики Кафедра теории вероятностей и прикладной математики
- •Высшая математика
- •Часть 1 линейная алгебра и аналитическая геометрия
- •1 Семестр
- •Часть 1
- •Введение
- •Рабочая программа
- •Список литературы
- •Тематика лекций
- •Тематика упражнений
- •1. Самостоятельная работа над учебником
- •2. Решение задач
- •3. Выбор варианта
- •4. Выполнение контрольных работ
- •Определение 1. Прямоугольная таблица чисел или иных математических
- •Свойства сложения матриц
- •Свойства умножения матрицы на число
- •Свойства умножения матриц
- •2. Определители и их свойства. Обратная матрица. Ранг матрицы
- •Свойства определителей
- •Ранг матрицы
- •Порядок нахождения ранга матрицы
- •Ранг ступенчатой матрицы равен числу её ненулевых строк
- •Вопросы для самопроверки
- •3. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Крамеровские системы уравнений. Теорема Кронекера–Капелли Система линейных алгебраических уравнений
- •2. Элементы векторной алгебры
- •1. Векторы и действия над ними
- •2. Линейное пространство. Линейная зависимость. Базис
- •3. Собственные значения и собственные векторы матрицы.
- •4. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов
- •Геометрические свойства скалярного произведения
- •Алгебраические свойства векторного произведения
- •Геометрические свойства векторного произведения
- •Алгебраическое свойство смешанного произведения
- •Геометрическое свойство смешанного произведения
- •Вопросы для самопроверки
- •3. Аналитическая геометрия
- •1. Аналитическая геометрия на плоскости
- •1.1 Линии и их уравнения. Уравнение прямой на плоскости
- •1.2 Уравнение прямой на плоскости
- •1.3 Кривые второго порядка
- •Вопросы для самопроверки
- •2. Что такое гипербола и каково ее каноническое уравнение?
- •2. Аналитическая геометрия в пространстве
- •2.1 Поверхности, линии и их уравнения
- •2.2 Плоскость и прямая линия Различные виды уравнения плоскости
- •Вопросы для самопроверки
- •2.3 Поверхности 2-го порядка
- •Вопросы для самопроверки
- •Вариант 0
- •Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Высшая математика
- •Часть 1 линейная алгебра и аналитическая геометрия
- •1 Семестр
Вариант 8
1. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса
Варианты |
|
Варианты |
|
08 |
x -y +3z +2u = 9 -x +5y -z +2u = 7 x -4y -3z +3u = -8
|
58 |
-4x+5z +2u = 9 -4x -y –4z -2u =-8 -x +3y -5z +u = -6 -4x -5y +z = 1 |
18 |
-6x +3y +3u = 3 -5x+2y+4z-3u =-8 5x -y -2z -2u = -2 -11x +5y +4z = -2 |
68 |
5x -2y +3z -u = 8 4x + 2z -u = 9 -x +5y -5z -u = 2
|
28 |
2x +2y -3z +u = 3 -x -4y -5z -u = 7 x +4y -u = 9 -5z -2u = 16 |
78 |
4x +2y +3z +2u = 5 3x +3y +5z -u = 3 -5x -6y -6z-u = -9 -2x-3y -z -2u = -6 |
38 |
x +y -4z +2u = 7 2x -6y +2u = -8 -x -5y -5z +u = -9
|
88 |
-5x -y -3z -u = 7 -2x +5y -2z +u = 1 y -3z -u = 0
|
48 |
4x -4y -3z -3u =-7 -2x+2y-4z -u = -8 -5x+2y-2z-2u =-6 2x-2y-7z-4u = -15 |
98 |
-4x-2y-5z +u = -3 -2x +6y +4z +u = 0 4x -y +6z -2u = -3 -3y +z -u = -6 |
2. Даны координаты вершин треугольника АВС. Требуется:
вычислить длину стороны ВС;
2) составить уравнение стороны ВС;
3) вычислить длину высоты, проведенной из вершины А;
4) составить уравнение этой высоты.
Варианты |
08 |
18 |
28 |
38 |
48 |
А(x1;y1;) В(x2;y2;) С(x3;y3;) |
(6, 12) (-16,-19) (8, 13) |
(-17, 13) (-1, 20) (14, 0) |
(18, 2) (-4, 3) (-16,-6) |
(7, -9) (-5, 0) (10, 20) |
(16, 1) (-18, -2) (-15,-6) |
Варианты |
58 |
68 |
78 |
88 |
98 |
А(x1;y1;) В(x2;y2;) С(x3;y3;) |
(-13, 6) (-16, 7) (-7, 19) |
(19, 3) (-13, -1) (-1,-17) |
(19, -13) (-9, 4) (12,-16) |
(-1, 13) (-3,-12) (-18,-4) |
(-1, 7) (-9, 16) (18,-20) |
3. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Средствами векторной алгебры найти:
1) угол между ребрами А1А2 и А1А4;
2) площадь грани А1А2А3;
3) объем пирамиды А1А2А3А4;
4) уравнение плоскости основания пирамиды А2А3А4;
5) уравнение высоты пирамиды, проведенной из вершины А1.
Варианты |
08 |
18 |
28 |
38 |
48 |
А1(x1;y1;z1) А2(x2;y2;z2) А3(x3;y3;z3) А4(x4;y4;z4) |
(3, 2, 3) (1,-4,-6) (1, 6, 7) (9,-4,10) |
(5, 5, 2) (5, 8, 2) (7, 1,-2) (7,-1,-1) |
(-5,-2,-5) (2,-8, 1) (4,-2,-5) (-5, 4,-5) |
(-1,-4, 5) (2,-4, 9) (-1,-4, 9) (-1, 2, 5) |
(-9,-2,-5) (-2, 2,-9) (-8,-2,-5) (-9,-2, 6) |
Варианты |
58 |
68 |
78 |
88 |
98 |
А1(x1;y1;z1) А2(x2;y2;z2) А3(x3;y3;z3) А4(x4;y4;z4) |
(-4,-7,-2) (-2,-1, 7) (-4,-7,-8) (-10,-9, 7) |
(-3, 3, 5) (3, 9, 2) (3,-6, 7) (-1, 6,-1) |
(3,-8, 7) (3,-8,-3) (5,-6, 6) (-3,-2, 4) |
(5,-5,-1) (4, 3,-5) (3,-5,-1) (-1,-3,8) |
(-2,-8,-3) (-6,-1,-7) (-2,-8,-2) (4,-6, 6) |
4. 1) Составить уравнение поверхности, образованной вращением линии вокруг оси ОУ.
2) Подобрать значение параметра p так, чтобы точка А(x0;y0;z0) лежала на поверхности.
3) Сделать схематический чертёж.
Варианты |
Данные |
задачи |
|
Уравнение линии в плоскости х = 0 |
А(x0;y0;z0) |
08 |
у + 1 = pz2 |
(1; 1; 2) |
18 |
2y2 + pz2 = 2 |
(1; 0;-1) |
28 |
py2 + p = z2 |
(-1; 5; 2) |
38 |
y2 + pz2 = 6p |
(1;-1; 2) |
48 |
y2 + pz2 = 6 |
(-2; 1; -1) |
58 |
y2 + p = z2 |
(4; 5; 3) |
68 |
py + 4 = pz2 |
(2; 3; 1) |
78 |
y2 + pz2 = 4p |
(2;-2; 1) |
88 |
y2 + pz2 = 4 |
(2;-1; -2) |
98 |
y2 + z2 = 6p |
(2; 1;-1) |