2.2 Плоскость и прямая линия Различные виды уравнения плоскости

1. Можно доказать утверждение, что если в пространстве задана прямоугольная система координат ОХУZ, то всякое уравнение первой степени с тремя неизвестными х,у,z необходимо и достаточно определяет относительно этой системы некоторую плоскость Р. Уравнение это называется общим уравнением плоскости и имеет следующий вид:

Ах + Ву + Сz + D= 0 (17)

(сравните с общим уравнением (15) прямой на плоскости, которое следует из этого при z = 0) и определяет плоскость Р, перпендикулярную вектору (А,В,С).

Вектор - нормальный вектор плоскости Р.

Уравнению (17) эквивалентны следующие уравнения.

2. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку М(х₀, у₀, z₀):

А(х- х₀) + В(у-у₀) + С(z-z₀) = 0.

3. Уравнение плоскости в отрезках

,

где ; ; _.

4. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой, записывается в виде определителя

,

где (х₁, y₁, z₁), (х₂, y₂, z₂), (х₃, y₃, z₃) - координаты заданных точек.

Угол между двумя плоскостями определяется как угол между их нормальными векторами n₁ и n₂ . Отсюда условие параллельности плоскостей

Р₁ и Р₂:

и условие перпендикулярности двух плоскостей:

А₁ А₂ + В₁ В₂ + С₁С₂ = 0 .

Пример 29. Через точку К (1, -3, 2) провести плоскость, параллельную векторам

а = (1, 2, -3) и b = (2,-1,-1) .

Решение. Пусть М (х, у, z) – произвольная точка искомой плоскости. Вектор

КМ = (х - 1, у + 3, z - 2) лежит в этой плоскости, а векторы а и b ей параллельны. Следовательно, векторы КМ, а и b – компланарны. Тогда их смешанное произведение равно нулю:

.

Отсюда (х –1)  (у + 3) – 5(z – 2) = 0 или х+ 7у + 5z + 10 = 0. Это и есть искомое уравнение плоскости.

Различные виды уравнения прямой в пространстве

Прямую линию в пространстве можно задавать в виде:

1) линии пересечения двух не совпадающих и не параллельных плоскостей Р₁ и Р₂ :

;

2) уравнения прямой, проходящей через данную точку М(х₀ , у₀, z₀) в направлении, задаваемом вектором L= (m, n, p):

,

которое называется каноническим уравнением прямой в пространстве;

3) уравнения прямой, проходящей через две заданные точки М(х₁, у₁, z₁)

и M(x₂, y₂, z₂):

;

4) параметрических уравнений:

.

Пример 30. Привести к каноническому и параметрическому видам уравнение прямой

.

Решение. Прямая задана как линия пересечения двух плоскостей. Нормальные векторы этих плоскостей n₁ = (3,1,-2) и n₂ = (4,-7,-1) перпендикулярны к искомой прямой, поэтому их векторное произведение [n₁, n₂] = L параллельно ей и вектор [n₁, n₂] (или любой ему коллинеарный) можно принять за направляющий вектор L искомой прямой.

Находим

[n₁, n₂] = .

Примем за L = 3i + j + 5k . Остается найти какую-либо точку на заданной прямой. Положим для этого, например, z = 0. Получим

.

Решив эту систему, находим х = 1, у =  2. Таким образом, точка К (1, 2, 0) принадлежит заданной прямой, а её каноническое уравнение имеет вид

.

Параметрические уравнения следуют из канонических, если за параметр t принять каждое из отношений:

; ; .

Откуда .

Пример 31. Через точку К (1, 3, 1) провести прямую, перпендикулярную

плоскости 3х – у + 2z – 10 = 0.

Решение. Вектор нормали к данной плоскости n = (3, 1, 2). Искомая прямая проходит через точку К и должна быть параллельна вектору n. Поэтому её уравнение можно записать в виде

.