- •Федеральное агентство связи
- •Московский технический университет связи и информатики Кафедра теории вероятностей и прикладной математики
- •Высшая математика
- •Часть 1 линейная алгебра и аналитическая геометрия
- •1 Семестр
- •Часть 1
- •Введение
- •Рабочая программа
- •Список литературы
- •Тематика лекций
- •Тематика упражнений
- •1. Самостоятельная работа над учебником
- •2. Решение задач
- •3. Выбор варианта
- •4. Выполнение контрольных работ
- •Определение 1. Прямоугольная таблица чисел или иных математических
- •Свойства сложения матриц
- •Свойства умножения матрицы на число
- •Свойства умножения матриц
- •2. Определители и их свойства. Обратная матрица. Ранг матрицы
- •Свойства определителей
- •Ранг матрицы
- •Порядок нахождения ранга матрицы
- •Ранг ступенчатой матрицы равен числу её ненулевых строк
- •Вопросы для самопроверки
- •3. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Крамеровские системы уравнений. Теорема Кронекера–Капелли Система линейных алгебраических уравнений
- •2. Элементы векторной алгебры
- •1. Векторы и действия над ними
- •2. Линейное пространство. Линейная зависимость. Базис
- •3. Собственные значения и собственные векторы матрицы.
- •4. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов
- •Геометрические свойства скалярного произведения
- •Алгебраические свойства векторного произведения
- •Геометрические свойства векторного произведения
- •Алгебраическое свойство смешанного произведения
- •Геометрическое свойство смешанного произведения
- •Вопросы для самопроверки
- •3. Аналитическая геометрия
- •1. Аналитическая геометрия на плоскости
- •1.1 Линии и их уравнения. Уравнение прямой на плоскости
- •1.2 Уравнение прямой на плоскости
- •1.3 Кривые второго порядка
- •Вопросы для самопроверки
- •2. Что такое гипербола и каково ее каноническое уравнение?
- •2. Аналитическая геометрия в пространстве
- •2.1 Поверхности, линии и их уравнения
- •2.2 Плоскость и прямая линия Различные виды уравнения плоскости
- •Вопросы для самопроверки
- •2.3 Поверхности 2-го порядка
- •Вопросы для самопроверки
- •Вариант 0
- •Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Высшая математика
- •Часть 1 линейная алгебра и аналитическая геометрия
- •1 Семестр
Вариант 1
Решить систему линейных уравнений матричным методом и по формулам Крамера
Варианты |
|
Варианты |
|
01 |
3x + 4y - 2z = 1 x + 5y + z = 0 2x + 4y + 3z = 8 |
51 |
2x - 5y + z = 1 4x + 2y - 3z = 1 x - y + z = 2
|
11 |
3x + 2y + z = 1 2x - 3y + 2z = 9 x - 8y - 5z = -7 |
61 |
3x + 3y - 2z = 4 5x - 7y + 4z = 0 x + 2y - z = 3 |
21 |
2x - y - z = 0 2x + 4y - z = 15 3x - z = 5 |
71 |
x + 2y - 2z = 3 5x + 4y - 3z = 4 3x + y - 4z = 7 |
31 |
x + 2y - 3z = -3 2x - 3y + z = - 13 3x + y + 2z = 4 |
81 |
5x - y + 8z = 7 2x + 2y - 3z = 9 x + 3y + 2z = 1 |
41 |
x - 2y + 2z = -14 2x - y + z = -4 4x + y + 2z = 7 |
91 |
2x - 3y - 4z = -1 x + y + 5z = 0 3x + 2y + 4z = 8 |
Даны координаты вершин треугольника АВС. Требуется:
вычислить длину стороны ВС;
составить уравнение стороны ВС;
вычислить длину высоты, проведенной из вершины А;
составить уравнение этой высоты.
Варианты |
01 |
11 |
21 |
31 |
41 |
А(x1;y1;) В(x2;y2;) С(x3;y3;) |
(-4. 3) (-10, 6) (2, -10) |
(-16, 13) (14, 3) (20, 11) |
(10, 11) (-6, 14) (-2, 17) |
(4, 9) (-9,-2) (-18, 10) |
(8,-5) (-7,-10) (9, 2) |
Варианты |
51 |
61 |
71 |
81 |
91 |
А(x1;y1;) В(x2;y2;) С(x3;y3;) |
(-10, 20) (-5,-5) (-15, 19) |
(17,-19) (9, 15) (-15, 19) |
(10,-6) (-3,-6) (7, 18) |
(10,-16) (1,-18) (-11,-9) |
(11,-15) (-3, 8) (1, 5) |
3. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Средствами векторной алгебры найти:
угол между ребрами А1А2 и А1А4;
площадь грани А1А2А3;
объем пирамиды А1А2А3А4;
уравнение плоскости основания пирамиды А2А3А4;
уравнение высоты пирамиды, проведенной из вершины А1.
Варианты |
01 |
11 |
21 |
31 |
41 |
А1(x1;y1;z1) А2(x2;y2;z2) А3(x3;y3;z3) А4(x4;y4;z4) |
(3, 1,-3) (3,-6,-3) (9,-6,-9) (2,-3, 5) |
(-2,-4,-7) (-6,-8,-9) (-2, 1,-7) (-2,-8,-4) |
(-1, 4,-4) (-4, 4,-8) (-9, 8,-3) (-5, 5, 4) |
(4,-7, 8) (8,-3, 10) (2,-3, 4) (-2, 1, 8) |
(-1,-3,-1) (1,-6,-7) (7,-9,-1) (1, 3, 8) |
Варианты |
51 |
61 |
71 |
81 |
91 |
А1(x1;y1;z1) А2(x2;y2;z2) А3(x3;y3;z3) А4(x4;y4;z4) |
(5, 3, 1) (5, 3,-4) (-1,-6,-1) (-4, 1, 7) |
(-2,-10,-1) (-1,-8, 1) (-6,-3, 3) (-5,-4, 1) |
(2,-5,-7 ) (-4,-3, 2) (-2,-1,-9) (-6, 1,-7) |
(8, 3,-5) (6, 7,-1) (8, 3,-10) (2,-3,-2) |
(-1, 8, 3) (1, 8, 3) (-1, 4, 6) (1,-1,-3) |
4. Построить поверхность, определяемую заданным уравнением
Вариант |
Уравнение поверхности |
01 |
x2+2x +2y2 +4y -z2 = 0 |
11 |
x2 –4x + 4y2 –8y + z2 = 0 |
21 |
0,5x2 +0,25y2 –2z +2 = 0 |
31 |
x2–2x+y2–4y +z2–6z = 0 |
41 |
x2–6x +y2–2y–z2 –4z = 0 |
51 |
x2 + y2 –2х – 4y = 0 |
61 |
x2 – 4x – y2 – 2y = 0 |
71 |
x2 – 4x + 2z = 0 |
81 |
x2 -3x -y2 + 4y -2z2 = 0 |
91 |
x2 – 4x +y2 – 2y – z = 0 |