- •Федеральное агентство связи
- •Московский технический университет связи и информатики Кафедра теории вероятностей и прикладной математики
- •Высшая математика
- •Часть 1 линейная алгебра и аналитическая геометрия
- •1 Семестр
- •Часть 1
- •Введение
- •Рабочая программа
- •Список литературы
- •Тематика лекций
- •Тематика упражнений
- •1. Самостоятельная работа над учебником
- •2. Решение задач
- •3. Выбор варианта
- •4. Выполнение контрольных работ
- •Определение 1. Прямоугольная таблица чисел или иных математических
- •Свойства сложения матриц
- •Свойства умножения матрицы на число
- •Свойства умножения матриц
- •2. Определители и их свойства. Обратная матрица. Ранг матрицы
- •Свойства определителей
- •Ранг матрицы
- •Порядок нахождения ранга матрицы
- •Ранг ступенчатой матрицы равен числу её ненулевых строк
- •Вопросы для самопроверки
- •3. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Крамеровские системы уравнений. Теорема Кронекера–Капелли Система линейных алгебраических уравнений
- •2. Элементы векторной алгебры
- •1. Векторы и действия над ними
- •2. Линейное пространство. Линейная зависимость. Базис
- •3. Собственные значения и собственные векторы матрицы.
- •4. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов
- •Геометрические свойства скалярного произведения
- •Алгебраические свойства векторного произведения
- •Геометрические свойства векторного произведения
- •Алгебраическое свойство смешанного произведения
- •Геометрическое свойство смешанного произведения
- •Вопросы для самопроверки
- •3. Аналитическая геометрия
- •1. Аналитическая геометрия на плоскости
- •1.1 Линии и их уравнения. Уравнение прямой на плоскости
- •1.2 Уравнение прямой на плоскости
- •1.3 Кривые второго порядка
- •Вопросы для самопроверки
- •2. Что такое гипербола и каково ее каноническое уравнение?
- •2. Аналитическая геометрия в пространстве
- •2.1 Поверхности, линии и их уравнения
- •2.2 Плоскость и прямая линия Различные виды уравнения плоскости
- •Вопросы для самопроверки
- •2.3 Поверхности 2-го порядка
- •Вопросы для самопроверки
- •Вариант 0
- •Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Высшая математика
- •Часть 1 линейная алгебра и аналитическая геометрия
- •1 Семестр
Вариант 3
Решить систему линейных уравнений матричным методом и по формулам Крамера
Варианты |
|
Варианты |
|
03 |
x +2y –2z = –1 –3x +2y +4z = –9 3x –4y –z = 7 |
53 |
–3x –2y +3z = –5 –3x +2y – z = –9 5x –3y –3z = 6 |
13 |
2x +y +4z = 5 –3x –y +2z = 2 –x – 4z = –3 |
63 |
6x +3y = 9 5x +2y +2z = 9 –5x +4y –5z = –6 |
23 |
–5x –3y +6z = –2 5x +3y –4z = 4 –6x –2y +3z = –5 |
73 |
3x –6y –3z = 9 4x +5y –3z = –3 –x –4y +6z = –7 |
33 |
–x +4y +z = –8 4x –4y +3z = 1 –2x +5y –3z = –5 |
83 |
4x +3y –4z = 1 –6x –3y +3z = –6 –y –z = 0 |
43 |
5x +2y +4z = 8 5x +y +3z = 7 3x –2y –2z = 4 |
93 |
5x + y = 6 5x +3y +3z = –1 –x –4y –4z = 7 |
2. Даны координаты вершин треугольника АВС. Требуется:
1) вычислить длину стороны ВС;
2) составить уравнение стороны ВС;
3) вычислить длину высоты, проведенной из вершины А;
4) составить уравнение этой высоты.
Варианты |
03 |
13 |
23 |
33 |
43 |
А(x1;y1;) В(x2;y2;) С(x3;y3;) |
(-11, 0) (4, 0) (-5, 12) |
(4, -16) (-14,-17) (-19,-5) |
(8, 4) (-2, 14) (2,17) |
(12, 17) (9, 1) (13, 4) |
(18, 17) (-5, 16) (-13, 10) |
Варианты |
53 |
63 |
73 |
83 |
93 |
А(x1;y1;) В(x2;y2;) С(x3;y3;) |
(3, -2) (0, 20) (15, 12) |
(-3,-2) (19, 18) (3,-12) |
(7, 2) (2, 7) (14, 16) |
(-5, 2) (1,-20) (-19,-5) |
(16, 13) (20,-20) (-4,-2) |
3. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Средствами векторной алгебры найти:
1) угол между ребрами А1А2 и А1А4;
2) площадь грани А1А2А3;
3) объем пирамиды А1А2А3А4;
4) уравнение плоскости основания пирамиды А2А3А4;
уравнение высоты пирамиды, проведенной из вершины А1.
Варианты |
03 |
13 |
23 |
33 |
43 |
А1(x1;y1;z1) А2(x2;y2;z2) А3(x3;y3;z3) А4(x4;y4;z4) |
(2, -1, 2) (8,-8,-4) (-1,-7,4) (8,-7,-5) |
(-5, 2, 1) (-1, 3,-7) (-9,-6, 2) (-7, 5,-5) |
(-6, 8, 2) (-2, 6,-2) (-6, 4,-1) (-4, 8, 2) |
(-3,-2,-3) (5,-6,-4) (-7, 2, 4) (-9, 1,-5) |
(8, 3, 3) (6,-3, 6) (2, 9,-4) (4,-5, 2) |
Варианты |
53 |
63 |
73 |
83 |
93 |
А1(x1;y1;z1) А2(x2;y2;z2) А3(x3;y3;z3) А4(x4;y4;z4) |
(-4, 3,-1) (-6, 4,-3) (-4, 3,9) (-4, 7,-1) |
(3,-1,2) (7, 6, 6) (1, 3, 6) (4,-5,-6) |
(-2, 3, 3) (-1, 5, 1) (-8, 5, 6) (-8, 6, 5) |
(-1,-1,-3) (-6,-1,-3) (3,-9,-4) (2, 5,-1) |
(-5,-5, 1) (-5,-5, 9) (-7,-9, 5) (2, 1,-5) |
4. Построить поверхность, определяемую заданным уравнением
Варианты |
Уравнение поверхности |
03 |
x2 +2x +y2 –2y –2z = 2 |
13 |
4x2 –8x –9y2 –36y –72z2 = –184 |
23 |
x2 -6x + 4y2 +16y + 9 = 0 |
33 |
x2 + y2 –2z = 1 |
43 |
x +y2 = 4 |
53 |
x2 -4x +y2 +2y = z |
63 |
4x2 –4x –9y2 –6y = z |
73 |
x2+6x+2y2–18y–8z = –49 |
83 |
6y +4z +20 = z2 |
93 |
y2 +z2 + 2z = 0 |