Порядок нахождения ранга матрицы

1. Найти все миноры матрицы А.

2. Среди всех миноров, не равных нулю, найти минор (или миноры) наивысшего порядка.

Этот наивысший порядок и будет равен рангу матрицы r(A).

Пример 14. Вычислить ранг матрицы А =

Решение. В этой матрице можно указать несколько ненулевых миноров 2-го порядка, например, М₂ = Значит r(A)  2. Далее найдем все миноры третьего порядка. Таких миноров всего четыре:

Так как все миноры 3-го порядка равны нулю и других миноров более высоких порядков нет, то r(A) = 2.

Другой метод вычисления ранга матрицы основан на приведении матрицы А к ступенчатому виду. Привести матрицу к ступенчатому виду можно с помощью элементарных преобразований над её строками (или столбцами).

Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие операции (действия):

1) перемена местами двух строк (столбцов);

2) умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;

3) прибавление к элементам одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца).

Матрица В, полученная в результате элементарных преобразований, называется эквивалентной матрице А и обозначается В  А .

При элементарных преобразованиях ранг матрицы не изменяется.

Пример 15. Привести матрицу А = к ступенчатому виду.

Решение. 1) Умножим элементы второй строки на 2 и вычтем их из соответствующих элементов первой строки и получим эквивалентную матрицу

В ₁ = .

2) Умножим все элементы второй строки матрицы В₁ на 5 и вычтем их из соответствующих элементов третьей строки, получим новую эквивалентную матрицу

В ₂ = .

3) Поменяем местами первую и вторую строки

В ₃ = .

Замечаем, что элементы второй и третьей строк находятся в линейной зависимости.

4) Умножаем элементы второй строки на 10 и вычитаем их из соответствующих элементов третьей строки, получаем другую эквивалентную матрицу

В ₄ = .

Полученная матрица В ₄ является ступенчатой и её ранг, как нетрудно видеть, равен r (B ₄) = r (A) = 2.

Ранг ступенчатой матрицы равен числу её ненулевых строк

Понятия обратной матрицы и ранга матрицы используются, в частности, при решении систем линейных алгебраических уравнений.

Вопросы для самопроверки

1. Какие матрицы называются равными, диагональными, транспонированными, симметрическими, перестановочными?

2. Сформулируйте свойства сложения матриц.

3. Сформулируйти правило умножения двух матриц. В чем состоит условиие, необходимое для существования произведения матриц?

4. Сформулируйте свойства умножения матриц.

5. Как определяется обратная матрица? В чем состоит условие, необходимое для существования обратной матрицы?

6. Какие существуют правила для вычисления определителей 3-го порядка?

7. Что называется минором некоторого элемента определителя 3-го (произвольного) порядка?

8. Что называется алгебраическим дополнением некоторого элемента определителя третьего (произвольного) порядка?

9. Напишите разложение определителя 3-го порядка по 3-й строке и по 3-му столбцу.

10. Сформулируйте свойства определителей.

11. Что называется рангом матрицы и как он вычисляется?