- •Федеральное агентство связи
- •Московский технический университет связи и информатики Кафедра теории вероятностей и прикладной математики
- •Высшая математика
- •Часть 1 линейная алгебра и аналитическая геометрия
- •1 Семестр
- •Часть 1
- •Введение
- •Рабочая программа
- •Список литературы
- •Тематика лекций
- •Тематика упражнений
- •1. Самостоятельная работа над учебником
- •2. Решение задач
- •3. Выбор варианта
- •4. Выполнение контрольных работ
- •Определение 1. Прямоугольная таблица чисел или иных математических
- •Свойства сложения матриц
- •Свойства умножения матрицы на число
- •Свойства умножения матриц
- •2. Определители и их свойства. Обратная матрица. Ранг матрицы
- •Свойства определителей
- •Ранг матрицы
- •Порядок нахождения ранга матрицы
- •Ранг ступенчатой матрицы равен числу её ненулевых строк
- •Вопросы для самопроверки
- •3. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Крамеровские системы уравнений. Теорема Кронекера–Капелли Система линейных алгебраических уравнений
- •2. Элементы векторной алгебры
- •1. Векторы и действия над ними
- •2. Линейное пространство. Линейная зависимость. Базис
- •3. Собственные значения и собственные векторы матрицы.
- •4. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов
- •Геометрические свойства скалярного произведения
- •Алгебраические свойства векторного произведения
- •Геометрические свойства векторного произведения
- •Алгебраическое свойство смешанного произведения
- •Геометрическое свойство смешанного произведения
- •Вопросы для самопроверки
- •3. Аналитическая геометрия
- •1. Аналитическая геометрия на плоскости
- •1.1 Линии и их уравнения. Уравнение прямой на плоскости
- •1.2 Уравнение прямой на плоскости
- •1.3 Кривые второго порядка
- •Вопросы для самопроверки
- •2. Что такое гипербола и каково ее каноническое уравнение?
- •2. Аналитическая геометрия в пространстве
- •2.1 Поверхности, линии и их уравнения
- •2.2 Плоскость и прямая линия Различные виды уравнения плоскости
- •Вопросы для самопроверки
- •2.3 Поверхности 2-го порядка
- •Вопросы для самопроверки
- •Вариант 0
- •Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Высшая математика
- •Часть 1 линейная алгебра и аналитическая геометрия
- •1 Семестр
Вариант 9
1. Решить систему линейных уравнений матричным методом и по формулам Крамера
Варианты |
|
Варианты |
|
09 |
-y -3z = 7 x +6y +z = -8 -4x +6y -z = -1 |
59 |
2x + z = 1 5x +5y +6z = 4 -5x +y -z = -3 |
19 |
5x -y = 9 2x -3y +z = -1 -4x +2y +z = -8 |
69 |
6x +2y +2z = 4 -2x +5y -5z = 6 -5x -y -5z = 6 |
29 |
-5x +2y +4z = -3 4x +6y = 8 x +6y +5z = -4 |
79 |
4x +4y +6z = -6 6x +3y -5z = 8 2x -3y -4z = 9 |
39 |
-x +3y +2z = -3 -3y -2z = 2 -x -6y -3z = 5 |
89 |
-5x +y -6z = 1 5y -2z = 8 6x -3y +3z = -9 |
49 |
-x +5y +z = -1 2x -6y +3z = 8 -3x +2y -5z = -6 |
99 |
-x -5y -2z = -4 x - 6y -3z = -2 -5x -3y -2z = -6 |
2. Даны координаты вершин треугольника АВС. Требуется:
1) вычислить длину стороны ВС;
2) составить уравнение стороны ВС;
3) вычислить длину высоты, проведенной из вершины А;
4) составить уравнение этой высоты.
Варианты |
09 |
19 |
29 |
39 |
49 |
А(x1;y1;) В(x2;y2;) С(x3;y3;) |
(14, -14) (11, 7) (14, 11) |
(14, 17) (-3, 1) (9, 17) |
(-14,-6) (9,-12) (6,-16) |
(-18,-11) (-4, 7) (-16, -2) |
(-11,-14) (17, 15) (2, -5) |
Варианты |
59 |
69 |
79 |
89 |
99 |
А(x1;y1;) В(x2;y2;) С(x3;y3;) |
(12,-19) (14,-8) (18,-11) |
(5, 14) (-3, -5) (-7, -2) |
(6, 5) (-8, 2) (-14, 10) |
(-6, 0) (-12,-2) (12, 16) |
(12, 5) (4, -4) (-8, 5) |
3. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Средствами векторной алгебры найти:
1) угол между ребрами А1А2 и А1А4;
2) площадь грани А1А2А3;
3) объем пирамиды А1А2А3А4;
4) уравнение плоскости основания пирамиды А2А3А4;
5) уравнение высоты пирамиды, проведенной из вершины А1.
Варианты |
09 |
19 |
29 |
39 |
49 |
А1(x1;y1;z1) А2(x2;y2;z2) А3(x3;y3;z3) А4(x4;y4;z4) |
(-5; 4;2) (4;2;8) (-3;7;8) (3;5;-2) |
(-3;-1;7) (-5;-5;3) (-3;-7;7) (1;3;5) |
(10;-5;2) (4;2;-4) (2;-6;6) (6;-9;9) |
(-5;6;-7) (1;4;-4) (1; 6; 1) (1; 3;-5) |
(-7;-7; 1) (-7;-4;-3) (-3;-8;-7) (-10;-1;7) |
Варианты |
59 |
69 |
79 |
89 |
99 |
А1(x1;y1;z1) А2(x2;y2;z2) А3(x3;y3;z3) А4(x4;y4;z4) |
(3; 1;-5) (3;1;-10) (5;-8; 1) (1; 4; 1) |
(6;-1; 5) (3;-7; -1) (-2;-5; 4) (6;-3; 5) |
(-3;-4;-1) (-6;-10;1) (-6;-4;-5) (1;-6; 3) |
(-1; 1;-3) (-2; 5; 5) (-5;-3;-1) (-3; 4;-9) |
(-6; 2;-3) (3; 2;-3) (-5;10;-7) (-4; 3;-5) |
4. 1) Составить уравнение поверхности, образованной вращением линии вокруг оси ОZ.
2) Подобрать значение параметра p так, чтобы точка А(x0;y0;z0) лежала на поверхности.
3) Сделать схематический чертёж.
Варианты |
Данные |
задачи |
|
Уравнение линии в плоскости у = 0 |
А(x0;y0;z0) |
09 |
x2 = pz - 2 |
(-1; 1;-1) |
19 |
x2 = z + p |
(1; 1;-2) |
29 |
x2 = pz2 |
(0; 1;-1) |
39 |
x2 = pz |
(1; 2;-5) |
49 |
x2 - pz2 = 4 |
(3;-2; 3) |
59 |
px2 + 5z2 = 10 |
(1; 2; 1) |
69 |
x2 = p - z2 |
(1; 0; 1) |
79 |
x2 + pz2 = 4p |
(-2; 2;2) |
89 |
x2 + pz2 = 0 |
(2; 1;-1) |
99 |
x2 = pz + 4 |
(3; 2; 3) |
Учебно-методическое пособие
по курсу