3. Аналитическая геометрия

1. Аналитическая геометрия на плоскости

1.1 Линии и их уравнения. Уравнение прямой на плоскости

Важным понятием в аналитической геометрии является понятие уравнения линии.

Уравнением данной линии в выбранной системе координат называется такое уравнение F (x, y) = 0 с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты х и у каждой точки, лежащей на этой линии, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на ней.

На этом утверждении основаны методы аналитической геометрии, суть которых состоит в том, что рассматриваемые линии исследуются при помощи анализа их уравнений. В аналитической геометрии всякую линию рассматривают как геометрическое место точек, обладающих каким-то свойством, общим для всех её точек.

Алгебраические уравнения линии в декартовых прямоугольных координатах в общем виде, например, имеют вид:

Ах + Ву + С = 0; (15)

Ах ² + Вху + Су ² + Dx + Ey + F = 0, (16)

где А, В, С, D, E, F – некоторые фиксированные числа, называемые коэффициентами данных уравнений.

Уравнение (15) – уравнение первой степени и является общим уравнением прямой (или линии 1-го порядка). Здесь коэффициенты А и В одновременно не могут равняться нулю.

Уравнение (16) – уравнение второй степени и является уравнением линии второго порядка. Здесь коэффициеты А, В, и С, также одновременно не могут равняться нулю.

Порядок алгебраического уравнения определяет порядок кривой.

1.2 Уравнение прямой на плоскости

Прямая линия на плоскости может быть задана различными способами.

1. Общее уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе ОХУ:

Ах + Ву + С = 0 .

Прямая, определяемая этим уравнением, ортогональна к вектору n, координаты которого А и В, т.е. n = {A,B}.

Вектор n – нормальный вектор данной прямой.

2. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку М(х ₀, у ₀):

А(х- х ₀) + В(у- у ₀) + С = 0 .

3. Уравнение прямой в отрезках:

,

где а = и b = .

4. Каноническое уравнение прямой:

,

где m и n – координаты направляющего вектора L = {m, n} ( параллельного данной прямой).

5. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки М ₁ (х₁, у₁) и

М₂ (х₂, у₂) :

.

6. Параметрическое уравнение прямой

,

где t – параметр, т.е. при одном и том же значении t эти уравнения определяют координаты х и у некоторой точки линии. При изменении параметра t изменяются х и у, и соответствующая точка перемещается вдоль заданной линии.

7. Уравнение прямой с угловым коэффициентом k =

у – у₀ = k(х – х₀) или у = kх + b.

8. Нормальное уравнение прямой

xcos + ysin – p = 0,

где  – угол между нормальным вектором n к данной прямой и осью ОХ;

p – длина отрезка прямой, совпадающего по направлению с вектором n и соединяющего начало координат с заданной прямой.

При решении различных задач то или иное из этих уравнений оказывается удобным. Поэтому надо научиться приводить уравнение прямой к любому из указанных видов, когда это возможно (например, прямая, параллельная оси ординат, не может быть представлена уравнением с угловым коэффициентом), и хорошо уяснить геометрический смысл параметров А, В, m, n, a, b в указанных уравнениях.

Не следует думать, что все способы построения прямой по её простейшим уравнениям одинаково удобны. Обычно построение прямой легче всего производить, исходя из её уравнения в отрезках.

Необходимо научиться проводить прямую через данную точку в заданном направлении и прямую через две заданные точки, уметь определять угол между двумя прямыми, применять условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Следует обратить внимание на то, что в аналитической геометрии «провести» означает «написать уравнение».

Пример 28. Вершины треугольника находятся в точках А(-4, 16), В(-10, -1) и

С(14, -8).

Найти длину высоты, опущенной из вершины В, и величину угла А.

Решение. 1. Находим уравнение прямой АС как прямой, проходящей через две заданные точки:

.

Отсюда угловой коэффициент прямой k_АС = .

Длина высоты ВС (ВС  h) равна расстоянию от точки В до прямой АС , которое можно найти по формуле расстояния между заданной точкой М(х₀, у₀) и прямой Ах +Ву + С = 0:

h = .

В нашем случае h = ед. дл.

2. Для нахождения угла А находим уравнение прямой АВ :

,

откуда 17х – 6у + 164 = 0 или у = .

Итак, k ₁ = k_AB = , а k ₂ = k_AC =  (было найдено ранее).

Тогда tgA = .

Из чертежа видно, что угол А – острый. По калькулятору или по таблицам В.М.Брадиса находим: А  56 ⁰19 (или в радианах А  0,98 рад.).

Замечание. Угол А можно найти и другим способом: как угол между нормальными векторами прямых АВ и АС по формуле

сos  = ,

по таблице  56 ⁰19 .

Вопросы для самопроверки

1. Какие виды уравнения на плоскости вы знаете?

2. Объясните смысл параметров в каждом из видов уравнения прямой.

3. Как определяется угол между прямыми на плоскости?

4. В чем заключается условие параллельности и перпендикулярности двух прямых на плоскости?