- •Федеральное агентство связи
- •Московский технический университет связи и информатики Кафедра теории вероятностей и прикладной математики
- •Высшая математика
- •Часть 1 линейная алгебра и аналитическая геометрия
- •1 Семестр
- •Часть 1
- •Введение
- •Рабочая программа
- •Список литературы
- •Тематика лекций
- •Тематика упражнений
- •1. Самостоятельная работа над учебником
- •2. Решение задач
- •3. Выбор варианта
- •4. Выполнение контрольных работ
- •Определение 1. Прямоугольная таблица чисел или иных математических
- •Свойства сложения матриц
- •Свойства умножения матрицы на число
- •Свойства умножения матриц
- •2. Определители и их свойства. Обратная матрица. Ранг матрицы
- •Свойства определителей
- •Ранг матрицы
- •Порядок нахождения ранга матрицы
- •Ранг ступенчатой матрицы равен числу её ненулевых строк
- •Вопросы для самопроверки
- •3. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Крамеровские системы уравнений. Теорема Кронекера–Капелли Система линейных алгебраических уравнений
- •2. Элементы векторной алгебры
- •1. Векторы и действия над ними
- •2. Линейное пространство. Линейная зависимость. Базис
- •3. Собственные значения и собственные векторы матрицы.
- •4. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов
- •Геометрические свойства скалярного произведения
- •Алгебраические свойства векторного произведения
- •Геометрические свойства векторного произведения
- •Алгебраическое свойство смешанного произведения
- •Геометрическое свойство смешанного произведения
- •Вопросы для самопроверки
- •3. Аналитическая геометрия
- •1. Аналитическая геометрия на плоскости
- •1.1 Линии и их уравнения. Уравнение прямой на плоскости
- •1.2 Уравнение прямой на плоскости
- •1.3 Кривые второго порядка
- •Вопросы для самопроверки
- •2. Что такое гипербола и каково ее каноническое уравнение?
- •2. Аналитическая геометрия в пространстве
- •2.1 Поверхности, линии и их уравнения
- •2.2 Плоскость и прямая линия Различные виды уравнения плоскости
- •Вопросы для самопроверки
- •2.3 Поверхности 2-го порядка
- •Вопросы для самопроверки
- •Вариант 0
- •Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Высшая математика
- •Часть 1 линейная алгебра и аналитическая геометрия
- •1 Семестр
Свойства определителей
Определитель квадратной матрицы А не меняется при ее
транспонировании:
det A = det Aт .
При перестановке местами каких- либо двух строк ( или столбцов)
определитель сохраняет абсолютную величину, но меняет знак на противоположный.
3. Определитель квадратной матрицы, имеющей две одинаковые сроки (или столбца), равен нулю.
4. Умножение всех элементов некоторой строки (или столбца) определителя
на число равносильно умножению определителя на это число .
5. Если элементы некоторой строки (или столбца) равны нулю, то определитель равен нулю.
6. Если к элементам некоторой строки (или столбца ) определителя прибавить соответствующие элементы какой-либо другой строки (или столбца), умноженные на произвольное число , то величина определителя не изменится.
7. Если элементы каких-либо двух строк (или столбцов) определителя пропорциональны или равны, то определитель равен нулю.
Пример 12. Вычислить определитель det A = , сведя его вычисление к вычислению одного определителя 2-го порядка.
Решение. 1) используя свойство 6, прибавим к элементам первого столбца соответствующие элементы третьего столбца. Получим определитель ;
2) к элементам второго столбца прибавим соответствующие элементы третьего столбца, умноженные на 2, в итоге получим определитель , который
легко вычисляется разложением по первой строке
det A = (-1)(-1) 1+3 = (9 – 1) = 10 .
Обратная матрица
Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля, и вырожденной в противном случае.
Каждая невырожденная матрица А имеет единственную обратную матрицу А 1 такую , что
А 1А= А А 1 = Е.
Составим матрицу А, элементами которой являются алгебраические дополнения А i j :
А = .
Матрица ( А ) Т называется присоединенной матрицей:
( А ) Т =
Обратная матрица А вычисляется по формуле
А = .
Пример 13. Вычислить обратную матрицу к матрице .
Решение. Составим присоединенную матрицу ( А ) Т, а для этого вычислим алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы А:
А 11 = (-1) 1+1 ; А 1 2 = (-1) 1+2 = 7; А 1 3= (-1) 1+3 ;
А 2 1= 3; А 2 2= 1; А2 3= 5; А 3 1= 1; А 3 2= -3; А 3 3 = -5;
Запишем (А) Т =
Определитель матрицы А был вычислен ранее и равен det A = 10. Тогда обратная матрица будет
А = =
Определители двух взаимно обратных матриц являются взаимно обратными числами
det A det A = 1 .
Ранг матрицы
Пусть задана матрица А размером mn, где m – число строк, а n – число столбцов матрицы, и пусть m n. Если в этой матрице выделить какие-либо k cтрок и k столбцов (k m), то тем самым получим минор М k – го порядка.
Определение 20. Рангом матрицы А (обозначается r(A)) называется
наивысший порядок k отличных от нуля миноров.
Ранг нулевой матрицы по определению равен нулю.