- •Федеральное агентство связи
- •Московский технический университет связи и информатики Кафедра теории вероятностей и прикладной математики
- •Высшая математика
- •Часть 1 линейная алгебра и аналитическая геометрия
- •1 Семестр
- •Часть 1
- •Введение
- •Рабочая программа
- •Список литературы
- •Тематика лекций
- •Тематика упражнений
- •1. Самостоятельная работа над учебником
- •2. Решение задач
- •3. Выбор варианта
- •4. Выполнение контрольных работ
- •Определение 1. Прямоугольная таблица чисел или иных математических
- •Свойства сложения матриц
- •Свойства умножения матрицы на число
- •Свойства умножения матриц
- •2. Определители и их свойства. Обратная матрица. Ранг матрицы
- •Свойства определителей
- •Ранг матрицы
- •Порядок нахождения ранга матрицы
- •Ранг ступенчатой матрицы равен числу её ненулевых строк
- •Вопросы для самопроверки
- •3. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Крамеровские системы уравнений. Теорема Кронекера–Капелли Система линейных алгебраических уравнений
- •2. Элементы векторной алгебры
- •1. Векторы и действия над ними
- •2. Линейное пространство. Линейная зависимость. Базис
- •3. Собственные значения и собственные векторы матрицы.
- •4. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов
- •Геометрические свойства скалярного произведения
- •Алгебраические свойства векторного произведения
- •Геометрические свойства векторного произведения
- •Алгебраическое свойство смешанного произведения
- •Геометрическое свойство смешанного произведения
- •Вопросы для самопроверки
- •3. Аналитическая геометрия
- •1. Аналитическая геометрия на плоскости
- •1.1 Линии и их уравнения. Уравнение прямой на плоскости
- •1.2 Уравнение прямой на плоскости
- •1.3 Кривые второго порядка
- •Вопросы для самопроверки
- •2. Что такое гипербола и каково ее каноническое уравнение?
- •2. Аналитическая геометрия в пространстве
- •2.1 Поверхности, линии и их уравнения
- •2.2 Плоскость и прямая линия Различные виды уравнения плоскости
- •Вопросы для самопроверки
- •2.3 Поверхности 2-го порядка
- •Вопросы для самопроверки
- •Вариант 0
- •Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Высшая математика
- •Часть 1 линейная алгебра и аналитическая геометрия
- •1 Семестр
Вариант 7
1. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса
Варианты |
|
Варианты |
|
07 |
4x -2y +4z -u = 0 x +3y +4z +2u = -2 -x +5y +z -2u = 6 5x +y +8z +u = -2 |
57 |
2x +y -2z -u = 0 -2x -3y +2 u = -1 -3x-2y+2z +u = -2 -2y -2z +u = -1 |
17 |
x +y -4z +2u = 7 2x -6y +2u = -8 -x -5y -5z +u = -9
|
67 |
-3x+3y-2z+2u =-3 -x -2y +4z -2u = 6 2x +3y -5z -u = -7 x +y -z -3u = -1 |
27 |
-3x+3y-2z+2u =-3 -x -2y +4z -2u = 6 2x +3y -5z -u = -7 x +y -z -3u = -1 |
77 |
4x -4y -z +u = -4 -3x+2y-3z+2u =-9 -5x +2y +2u = -1 x-2y -4z +3u = -13 |
37 |
-4x+5z +2u = 9 -4x -y –4z -2u =-8 -x +3y -5z +u = -6 -4x -5y +z = 1 |
87 |
4x +2y +3z +2u = 5 3x +3y +5z -u = 3 -5x -6y -6z-u = -9 -2x-3y -z -2u = -6 |
47 |
-3x -y +z +2u = 7 -4x -3y -3z-u = -8 -3x-2y +2z -2u = 2 -7x-4y-2z +u = -1 |
97 |
2x -z +2u = -9 -3x+4y+6z+2u =-5 -2x +4y +4z -u = 0 -5x+8y+10z+u =-5 |
2. Даны координаты вершин треугольника АВС. Требуется:
1) вычислить длину стороны ВС;
2) составить уравнение стороны ВС;
3) вычислить длину высоты, проведенной из вершины А;
4) составить уравнение этой высоты.
Варианты |
07 |
17 |
27 |
37 |
47 |
А(x1;y1;) В(x2;y2;) С(x3;y3;) |
(-8, 9) (-15, 0) (-12,-4) |
(3, 10) (-15, 1) (5,-14) |
(-18,-15) (-7,-17) (14, 11) |
(-12,-9) (-2,-9) (-5.-5) |
(-12, 5) (14, 7) (5, 19) |
Варианты |
57 |
67 |
77 |
87 |
97 |
А(x1;y1;) В(x2;y2;) С(x3;y3;) |
(9,-3) (1, 9) (13, 4) |
(14,-4) (-11,-12) (-6, 0) |
(5,-16) (-9,-13) (-1, -19) |
(3,-20) (-7, 5) (-10, 9) |
(4,-9) (-6, 11) (0, 3) |
3. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Средствами векторной алгебры найти:
1) угол между ребрами А1А2 и А1А4;
2) площадь грани А1А2А3;
3) объем пирамиды А1А2А3А4;
4) уравнение плоскости основания пирамиды А2А3А4;
5) уравнение высоты пирамиды, проведенной из вершины А1.
Варианты |
07 |
17 |
27 |
37 |
47 |
А1(x1;y1;z1) А2(x2;y2;z2) А3(x3;y3;z3) А4(x4;y4;z4) |
(3; 2; 2) (3; 5;-2) (2;-6; 6) (9; 8; 5) |
(2; 8; 4) (-2; 4; 6) (8; 5;-2) (2; 8;-7) |
(-1;-7; 3) (3;-5;-1) (1;-10; 9) (5; 2; 1) |
(6; 7; 10) (8; 10; 7) (7; 6;-1) (-3; 4; 5) |
(-2;-4; 6) (4;-6;-3) (2;-6; 2) (2;-5;-2) |
Варианты |
57 |
67 |
77 |
87 |
97 |
А1(x1;y1;z1) А2(x2;y2;z2) А3(x3;y3;z3) А4(x4;y4;z4) |
(-7; 3;-10) (2; 5;-4) (-4; 9;-8) (-3;-1;-3) |
(-4;-3;-1) (-3; 1;-9) (-4;-3; 9) (-6;-2; 1) |
(-7; 2;-1) (1;-6;-5) (-1; 9; 5) (-7; 2;-5) |
(4;-2; 2) (8;-2; 2) (-2;-9; 8) (4; 4; 2) |
(3;-4; 2) (7;-2;-2) (5;-5; 4) (-3; 2; 5) |
4. Построить поверхность, определяемую заданным уравнением
Варианты |
Уравнение поверхности |
07 |
x2 -2x +2y2 -8y +3z2 +6z =10 |
17 |
x2 -8x + y2 + 10y +z2 -12z -4 = 0 |
27 |
8x2 - 4y2 +2z2 - 48 = 0 |
37 |
3x2 +24x -4y2 -8y +6z2 -36z + 122 = 0 |
47 |
-x2 -4x +2y2 +4y +3z2 -24z +52 = 0 |
57 |
2x2 -12x +2y2 -10y +2z2 +8z +1 = 0 |
67 |
x2 -2x +y2 -4y +z2 -4 = 0 |
77 |
4x2 +16x -9y2-54y +36z2 -72z -65 = 0 |
87 |
2x2-12x -6y2-24y +3z2 -24z +30 = 0 |
97 |
x2+8x-6y2+12y +3z2 +1 = 0 |