- •Федеральное агентство связи
- •Московский технический университет связи и информатики Кафедра теории вероятностей и прикладной математики
- •Высшая математика
- •Часть 1 линейная алгебра и аналитическая геометрия
- •1 Семестр
- •Часть 1
- •Введение
- •Рабочая программа
- •Список литературы
- •Тематика лекций
- •Тематика упражнений
- •1. Самостоятельная работа над учебником
- •2. Решение задач
- •3. Выбор варианта
- •4. Выполнение контрольных работ
- •Определение 1. Прямоугольная таблица чисел или иных математических
- •Свойства сложения матриц
- •Свойства умножения матрицы на число
- •Свойства умножения матриц
- •2. Определители и их свойства. Обратная матрица. Ранг матрицы
- •Свойства определителей
- •Ранг матрицы
- •Порядок нахождения ранга матрицы
- •Ранг ступенчатой матрицы равен числу её ненулевых строк
- •Вопросы для самопроверки
- •3. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Крамеровские системы уравнений. Теорема Кронекера–Капелли Система линейных алгебраических уравнений
- •2. Элементы векторной алгебры
- •1. Векторы и действия над ними
- •2. Линейное пространство. Линейная зависимость. Базис
- •3. Собственные значения и собственные векторы матрицы.
- •4. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов
- •Геометрические свойства скалярного произведения
- •Алгебраические свойства векторного произведения
- •Геометрические свойства векторного произведения
- •Алгебраическое свойство смешанного произведения
- •Геометрическое свойство смешанного произведения
- •Вопросы для самопроверки
- •3. Аналитическая геометрия
- •1. Аналитическая геометрия на плоскости
- •1.1 Линии и их уравнения. Уравнение прямой на плоскости
- •1.2 Уравнение прямой на плоскости
- •1.3 Кривые второго порядка
- •Вопросы для самопроверки
- •2. Что такое гипербола и каково ее каноническое уравнение?
- •2. Аналитическая геометрия в пространстве
- •2.1 Поверхности, линии и их уравнения
- •2.2 Плоскость и прямая линия Различные виды уравнения плоскости
- •Вопросы для самопроверки
- •2.3 Поверхности 2-го порядка
- •Вопросы для самопроверки
- •Вариант 0
- •Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Высшая математика
- •Часть 1 линейная алгебра и аналитическая геометрия
- •1 Семестр
Вариант 6
Решить систему линейных уравнений матричным методом и по формулам Крамера
Варианты |
|
Варианты |
|
06 |
x -4y +z = 4 -3x + z = 8 -6x -y -4z = 5 |
56 |
5x -5y +3z = -9 5x +3y = 8 x -4y -3z = 6 |
16 |
3y +3z = -6 5x -5y -z = -4 2x -y +5z = -8 |
66 |
-2x +4y +z = -5 -2x -6y -z = -3 3x -3y +z = -7 |
26 |
x -2y +2z = -1 x -y -z = 1 -2x -4y -3z = 9 |
76 |
-3x +6y -5z = -5 -4x -5y +z = -9 -4x -2z = -8 |
36 |
-6x +3y -5z = 8 -5x -3y +z = 6 -5x -2y -5z = -4 |
86 |
-2x +4y -2z = -4 4x +3y -3z = 4 -x +2y -6z = 3 |
46 |
4x +5y -z = 4 x -y +2z = 1 5x +5y +4z = 1 |
96 |
y +5z =-7 -4x -5y +3z = -5 -6x -5y -5z = -3 |
2. Даны координаты вершин треугольника АВС. Требуется:
1) вычислить длину стороны ВС;
2) составить уравнение стороны ВС;
3) вычислить длину высоты, проведенной из вершины А;
4) составить уравнение этой высоты.
Варианты |
06 |
16 |
26 |
36 |
46 |
А(x1;y1;) В(x2;y2;) С(x3;y3;) |
(-2,-10) (3, 10) (0, 6) |
(3,-6) (-8,-4) (10, 20) |
(9,-2) (-1,-17) (-6,-5) |
(13, 8) (19, 5) (15, 2) |
(-7, 5) (8,-11) (13, 1) |
Варианты |
56 |
66 |
76 |
86 |
96 |
А(x1;y1;) В(x2;y2;) С(x3;y3;) |
(-6,-19) (-7,-17) (11, 7) |
(-16,-7) (7,-16) (-5, 0) |
(7, 9) (2, -6) (-4,-14) |
(5,-18) (10,-13) (-2,-4) |
(6,-3) (15,-1) (6,-13) |
3. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Средствами векторной алгебры найти:
1) угол между ребрами А1А2 и А1А4;
2) площадь грани А1А2А3;
3) объем пирамиды А1А2А3А4;
4) уравнение плоскости основания пирамиды А2А3А4;
5) уравнение высоты пирамиды, проведенной из вершины А1.
Варианты |
06 |
16 |
26 |
36 |
46 |
А1(x1;y1;z1) А2(x2;y2;z2) А3(x3;y3;z3) А4(x4;y4;z4) |
(3, 5, 5) (3, 5, 10) (9,-4, 3) (-7, 5, 5) |
(-4,-2,-5) (-6,-1,-3) (-4,-5,-1) (-6, 4,-2) |
(3, 3,-7) (5, 9, 2) (-3,5,-4) (9,9,-10) |
(-5, 4,-7) (-3,-5,-1) (3,-4,-3) (1, 7,-1) |
(-3,-1,-5) (-1,-7,-8) (-7, 7, 3) (-4,-3,-3) |
Варианты |
56 |
66 |
76 |
86 |
96 |
А1(x1;y1;z1) А2(x2;y2;z2) А3(x3;y3;z3) А4(x4;y4;z4) |
(-8, 9,-5) (-2, 3, 2) (-4, 9,-2) (-8, 6,-9) |
(-2,-5,-5) (1,-9,-5) (-2, 7,-5) (4, 1,-2) |
(-1, 3,-8) (-7, 5, 1) (-3, 2,-6) (-3, 6,-2) |
(-7,-6,-7) (5,-6,-7) (-7,-9,-7) (-3,-6,-4) |
(3,-6,-6) (7, 2, 2) (5,-10,-2) (-3,-8,-3) |
4. 1) Составить уравнение поверхности, образованной вращением линии вокруг оси ОУ.
2) Подобрать значение параметра p так, чтобы точка А(x0;y0;z0) лежала на поверхности.
3) Сделать схематический чертёж.
Варианты |
Данные |
задачи |
|
Уравнение линии в плоскости х = 0 |
А(x0;y0;z0) |
06 |
у = рz2 |
(-1; 5; 2) |
16 |
2y2 + рz2 = 2 |
(1; 0; -1) |
26 |
рy2 + р = z2 |
(2; 3; 1) |
36 |
y2 + рz2 = 6р |
(1; -1; 2) |
46 |
y2 + рz2 = 6 |
(2; -1; 2) |
56 |
y2 + р = z2 |
(4; 5; 3) |
66 |
рy +4 = рz2 |
(1; 1; 2) |
76 |
y2 + рz2 = 4р |
(2; -2; 1) |
86 |
y2 + рz2 = 4 |
(-2; 1 –1) |
96 |
y2 + z2 = 6р |
(2; 1; -1) |