- •Федеральное агентство связи
- •Московский технический университет связи и информатики Кафедра теории вероятностей и прикладной математики
- •Высшая математика
- •Часть 1 линейная алгебра и аналитическая геометрия
- •1 Семестр
- •Часть 1
- •Введение
- •Рабочая программа
- •Список литературы
- •Тематика лекций
- •Тематика упражнений
- •1. Самостоятельная работа над учебником
- •2. Решение задач
- •3. Выбор варианта
- •4. Выполнение контрольных работ
- •Определение 1. Прямоугольная таблица чисел или иных математических
- •Свойства сложения матриц
- •Свойства умножения матрицы на число
- •Свойства умножения матриц
- •2. Определители и их свойства. Обратная матрица. Ранг матрицы
- •Свойства определителей
- •Ранг матрицы
- •Порядок нахождения ранга матрицы
- •Ранг ступенчатой матрицы равен числу её ненулевых строк
- •Вопросы для самопроверки
- •3. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Крамеровские системы уравнений. Теорема Кронекера–Капелли Система линейных алгебраических уравнений
- •2. Элементы векторной алгебры
- •1. Векторы и действия над ними
- •2. Линейное пространство. Линейная зависимость. Базис
- •3. Собственные значения и собственные векторы матрицы.
- •4. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов
- •Геометрические свойства скалярного произведения
- •Алгебраические свойства векторного произведения
- •Геометрические свойства векторного произведения
- •Алгебраическое свойство смешанного произведения
- •Геометрическое свойство смешанного произведения
- •Вопросы для самопроверки
- •3. Аналитическая геометрия
- •1. Аналитическая геометрия на плоскости
- •1.1 Линии и их уравнения. Уравнение прямой на плоскости
- •1.2 Уравнение прямой на плоскости
- •1.3 Кривые второго порядка
- •Вопросы для самопроверки
- •2. Что такое гипербола и каково ее каноническое уравнение?
- •2. Аналитическая геометрия в пространстве
- •2.1 Поверхности, линии и их уравнения
- •2.2 Плоскость и прямая линия Различные виды уравнения плоскости
- •Вопросы для самопроверки
- •2.3 Поверхности 2-го порядка
- •Вопросы для самопроверки
- •Вариант 0
- •Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Высшая математика
- •Часть 1 линейная алгебра и аналитическая геометрия
- •1 Семестр
Вопросы для самопроверки
Какие поверхности заданы уравнениями:
4x2+9y2+z2 = 36 ;
4x2+9y2-z2 = 36 ;
4x2+9y2-z2= -36 ;
3x2+4y2 = z2 ;
3x2- 4y2= z2;
x2+ y2 = z ;
x2+ z2= 1;
x2– z2= 0 ;
y2= 4x .
2. Составить уравнение поверхности, образованной вращением прямой
у = kх вокруг оси ОХ.
3. Какую поверхность в пространстве описывает алгебрарическое уравнение 2-го порядка, содержащее лишь две переменные?
Контрольная работа № 1
Вариант 0
1. Решить систему линейных уравнений матричным методом и по формулам Крамера.
Варианты |
|
Варианты |
|
10 |
-5x +4y -3z = 6 -6x - 2y +5z = 9 4x - y - 3z = -8 |
60 |
-3x + 4y +5z = -4 -5x +5y +5z = -5 2y - z = 3 |
20 |
-2y +3z = -8 3x +y +3z = 1 -x +y +z = -3 |
70 |
3x - 4y - 4z = - 6 5x + 3y + z = - 8 4x + 2y - 3z = -3 |
30 |
-y - 5z = 2 -5x +y +2z = - 4 -5x +5y +4z = 6 |
80 |
3x +4y -z = -8 y - 2z = -8 -3x -y +3z = 8 |
40 |
-4x -6y -z = -1 -x -2y -5z = 5 -x +2z = -4 |
90 |
-x -3z = 5 3x -2y -z = 3 -x +6y -2z = 9 |
50 |
x +4y +z = 7 -3x +2y +z = -1 5x -2y -2z = 5 |
00 |
-x -3y = 5 -3x +y +z = -2 -2x +y +3z = 5 |
2. Даны координаты вершин треугольника АВС. Требуется:
вычислить длину стороны ВС;
составить уравнение стороны ВС;
вычислить длину высоты, проведенной из вершины А;
составить уравнение этой высоты.
Варианты |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
А(x1;y1;) В(x2;y2;) С(x3;y3;) |
(-5, -3) (-7, -9) (-13, -17) |
(-19, -10) (6, -15) (14, -9) |
(10, 15) (-14, -13) (-17, -9) |
(16, 8) (-11, 4) (-15, 1) |
(19, -1) (-4, -7) (-16, -16) |
Варианты |
60 |
70 |
80 |
90 |
00 |
А(x1;y1;) В(x2;y2;) С(x3;y3;) |
(4, -8) (-9, -4) (-13, -7) |
(-19, -7) (-5, -15) (4, -3) |
(-6, 6) (-4, 0) (5, -12) |
(19, -4) (13, 8) (17, 5) |
(-10, 4) (-18, 5) (-10, -1) |
3. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Средствами векторной алгебры найти:
угол между ребрами А1А2 и А1А4;
площадь грани А1А2А3;
объем пирамиды А1А2А3А4;
уравнение плоскости основания пирамиды А2А3А4;
уравнение высоты пирамиды, проведенной из вершины А1.
Варианты |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
|
(7, 2, -9) (3,-5,-5) (7,-8,-9) (1, 5, -7) |
(6,-4,-5) (6,-7,-9) (-2, 2,-5) (6, 3, -5) |
(3, 3, 6) (1, 3, 6) (1,-3, 3) (10,-1,10) |
(-6, -7, 1) (-3, -5, 7) (1, -1, 7) (-6, -7, 6) |
(3, 3, -5) (4, 5, -7) (9, 6, -3) (-4, -3, 1) |
Варианты |
60 |
70 |
80 |
90 |
00 |
|
(-7, 8, 2) (-1, 5, 4) (-5, 10, 1) (-7, 8, 1) |
(2, 4, 4) (-4,-3, -2) (5, 2, -2) (-2, -4, 5) |
(-2, -1,-7) (2,-1,-7) (-2,-1, -6) (-4,-3,-8) |
(1, 5, -1) (10, 3, 5) (1, 5, -9) (7, 5, -1) |
(-1, 5, 5) (-3, 6, 3) (-1, 5, 2) (6, 9, 1) |
4. 1) Составить уравнение поверхности, образованной вращением линии вокруг оси ОZ.
2) Подобрать значение параметра p так, чтобы точка А(x0;y0;z0) лежала на поверхности.
3) Сделать схематический чертёж.
Варианты |
Данные |
задачи |
|
Уравнение линии в плоскости х = 0 |
А(x0;y0;z0) |
10 |
рy2 = z |
(1, 0,-1) |
20 |
рy2 + 2z2 = 2 |
(1,-1, 0) |
30 |
y2 = рz2 +р |
(1, 3, 2) |
40 |
y2 + рz2 = 6р |
(1, 2, -1) |
50 |
рy2 + z2 = 6 |
(1,-1, 2) |
60 |
y2 = z2 + р |
(4, 3, 5) |
70 |
рy2 = рz + 4 |
(1,-2, 1) |
80 |
рy2 + z2 = 4р |
(2, 1,-2) |
90 |
рy2 + z2 = 4 |
(0, 1, 1) |
00 |
y2 + z2 = 6р |
(2, -1, 1) |