§3. Стандартные условия, налагаемые на волновую функцию

Обычно требуют, чтобы волновая функция Ψ была определена и непрерывна (бесконечное число раз дифференцируема) во всем пространстве, а также чтобы она была однозначной. Допустимым является один вид неоднозначности волновых функций —неоднозначность знака «+/−».

§4. Собственные значения и собственные функции оператора Гамильтона. Квантование энергии микрочастиц

Гамильтониан(оператор Гамильтона) — оператор, определяющий изменение во времени состояния квантовой системы (ее волновой функции Ψ), то есть вид уравнения Шредингера. Одновременно гамильтониан является оператором полной энергии системы (если потенциальная функция Π не зависит от времени). Согласно определению

, (1)

причем, для свободной частицы (не находящейся в потенциальном поле) Π ≡ 0.

В этих терминах решение уравнения Шредингера сводится к задаче о собственных значениях и собственных функциях оператора :

, (2)

где, соответственно, ψ— собственная функция, аE— собственное числодляψ.

Уравнение Шрёдингера для гармонического осциллятора имеет вид

(3)

где Е — полная энергия осциллятора. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что это уравнение имеет конечные, однозначные и непрерывные решенияпри значениях параметраЕравных

(4)

На рис. дана схема энергетических уровней осциллятора. Для наглядности уровни вписаны в кривую потенциальной энергии. Однако, следует помнить, что в квантовой механике полная энергия не может быть представлена в виде точно определённых кинетической и потенциальной энергий.

Уровни энергии здесь являются эквидистантными — отстоящими друг от друга на одинаковое расстояние. Наименьше возможное значение энергии равно

(5) Это значение называется нулевой энергией. Существование нулевой энергии подтверждается экспериментами по рассеянию света кристаллами при низких температурах. Оказывается, что интенсивность рассеянного света по мере понижения температуры стремится не к нулю, а к некоторому конечному значению, указывающему на то, что при абсолютном нуле колебания атомов в решётке не прекращаются.

Квантовомеханический расчет показывает, что для гармонического осциллятора возможны только переходы между соседними уровнями. При таких переходах квантовое число n изменяется на единицу:

. (6)

Условия, накладываемые на изменения квантовых чисел при переходах системы из одного состояния в другое, называются правилами отбора.

Поступив похожим образом, для некоторой микрочастицы можно найти решения (2) в виде

, (7)

где n— целое число. Значения энергии частицыE_nв этом случае также изменяются скачком (квантуются).

§5. Смысл волновой функции

Как показал Борн (1928), волновую функцию следует интерпретировать следующим образом: квадрат модуля Ψ определяет вероятность dwнахождения частицы в элементе объемаdV:

, (1)