Глава 4. Дифракция волн §1. Принципы Гюйгенса и Гюйгенса–Френеля

В волновой оптике существует два принципа: принцип Гюйгенсаипринцип Гюйгенса–Френеля. Впринципе Гюйгенсапостулируется, что каждая точка фронта волны является источником вторичных волн. Построив огибающую этих волн, можно найти положение фронта волны в последующие моменты времени.

Принцип Гюйгенсаявляется чисто геометрическим и позволяет вывеcти. например, законы отражения и преломления света, объясняет явления распространения света в анизотропных кристаллах (двойное лучепреломление). Но он не может объяснить большинство оптических явлений, обусловленных интерференцией волн.

Френель дополнил принцип Гюйгенса условием интерференции вторич­ных волн, исходящих от фронта волны. Такое расширение принципа Гюйгенса получило название принципа Гюйгенса–Френеля.

§2. Дифракция волн. Виды дифракции

Дифракциейназывают совокупность интерференционных явлений, наблюдаемых в средах с резкими неоднородностями, соизмеримыми с длиной волны, и связанных с отклонением законов распространения света от законов геометрической оптики. Дифракция, в частности, приводит к огибанию волнами препятствий и проникновению света в область геометрической тени. Роль неоднородностей среды могут играть щели, отверстия и различные препятствия: экраны, атомы и молекулы вещества и т.п.

Различают два вида дифракции. Если источник и точка наблюдения расположены от препятствия настолько далеко, что лучи, падающие на препятствие, и лучи, идущие в точку наблюдении, практически параллельны, то говорят о дифракции Фраунгофера(дифракция в параллельных лучах), в противном случае говорят одифракции Френеля(дифракция в сходящихся лучах). Еслиλ — длина волны,b — размеры препятствия,L —расстояние от препятствия до точки наблюдения, то различают следующие ситуации:

§3. Дифракция Френеля на круглом отверстии

Пусть сферическая волна, от источника в падает на круглое отверстие в диафрагме. В этом случае на экране будет наблюдаться дифракционная картина в виде светлых и темных колец.

Если отверстие открывает четное число зон Френеля, то в центре дифракционной картины будет темное пятно, а если оно открывает нечетное число зон Френеля, то светлое пятно. При перемещении диафрагмы с отверстием между источником и экраном в пределах отверстия будет укладываться то четное, то нечетное число зон Френеля и вид дифракционной картины (то с темным, то со светлым пятном в центре) будет постоянно меняться.

§4. Зоны Френеля

Френель предложил простой прием вычисления результата интерференции вторичных волн. приходящих от фронта волны в произвольную точку Р, лежащую на прямой, проходящую через источникSи точкуР.

Рассмотрим идею Френеля на примере сферической волны, испускаемой точечным источником S.

Пусть фронт волны от источника Sв некоторый момент времени находится на расстоянии aотSи на расстоянии bот точкиР. Разобьем фронт волны на кольцевые зоны так, чтобы расстояние от краев каждой зоны до точкиРотличались наλ/2.При таком построении колебания в соседних зонах сдвинуты по фазе наπ,т.е. происходят в противофазе. Если обозначить амплитуды колебаний в зонахE₁,E₂,… причемE₁>E₂>…,то амплитуда результирующего колебания в точкеРбудет равна

E=E₁−E₂+E₃−E₄+… (1)

Здесь чередование знаков «+» и «−»,так как колебания в соседних зонах происходят в противофазе. Представим формулу (1)в виде

, (2)

где положено . Получили, что амплитуда колебаний в точкеР, если в нее приходят колебания от всего волнового фронта, равнаЕ=Е₁/2, т.е. равна половине амплитуды волны, приходящей в точкуРот первой зоны Френеля.

Если закрыть все четные или нечетные зоны Френеля с помощью специальных пластинок, называемых зонными, то амплитуда колебаний в точке Рувеличится и будет равна

. (3)

Если на пути фронта волны поставить экран с отверстием, который открывал бы конечное четное число зон Френеля, то интенсивность света в точке Рбудет равна нулю

(4)

т.е. в этом случае в точке Рбудет темное пятно. Если же открыть нечет­ное число зон Френеля, то в точкеРбудет светлое пятно:

(5)

Для перекрытия зон френеля с помощью экранов или зонных пластине необходимо знать радиусы зон френеля. Согласно рис. получим

(6)

(7)

где пренебрегли членами с λ²и.

Приравнивая (6) и (7), получим

(8)

Подставляя формулу (8)в (6),найдем радиусm-ой зоны Френеля

, (9)

где m=1,2,3,… —номер зоны Френеля,λ —длина волны, излучения, испускаемого источником. Если фронт водны плоский (a→ ∞),то

. (10)

При фиксированном радиусе отверстия в экране, поставленом на пути волны число mзон Френеля, открываемых этим отверстием, зависит от расстоянийaи bот отверстия до источникаSи точкиР.