§10. Описание эффекта Комптона

Пусть на электрон с энергией покояE₀=m₀c²падает фотон с импульсомp. При рассеянии фотон передаст часть своей энергии электрону и его импульс и энергия станут равнымиp′ иε′.Электрон приобретет импульсp_eи его энергия станет равнойE.Согласно релятивистскому тождествуэнергию электрона можно представить в виде

.

Процесс рассеяния фотона на электроне можно рассматривать как столкновение двух шариков. Такой процесс описывается законами сохранения энергии и импульса:

(1,2)

Разделим (1) на си с учетомp=ε/cзапишем (1) и (2) в виде

(1,2)

Возведем равенства (1) и (2) в квадрат, тогда

(1,2)

Из сопоставления (1) и (2) следует

(3)

Подставляя для фотона p=h/λ, получим

(4)

откуда

.

Получили

(5)

где величина =h/m₀сназываетсякомптоновской длиной волныдля частицы с массой покояm₀.Для электрона_е = 2,436пм.

; (6)

Формулу (3),используя теорему синусов, можно записать в другом виде. Выражая импульс рассеянного фотонаp′ через импульсpпадающего фотона и подставляяp′в формулу (3)после преобразований получим

(7)

где ε/E₀ =Λλ —отношения энергии падающего фотона к энергии покоя электрона, Λ — комптоновская длина волны,λ — длина волны падающего фотона.

§11. Алгоритм решения задач на эффект Комптона

Выписываем закон сохранения энергии:

откуда кинетическая энергия электрона отдачиравна

.

Пусть нам дана длина волны λ, а требуется найтиε′,T,θ,φ. Тогда

Глава 7. Волновые свойства микрочастиц §1. Гипотеза де Бройля. Уравнение волны де Бройля

Согласно гипотезе Эйнштейна для фотонов,

.

Исходя из этого де Бройль (1923) предположил, что любой частице, обладающей импульсом pи энергиейEможно поставить в соответствие длину волныλи частотуνравные, соответственно,

. (1)

или волновое число kи циклическую частотуω:

. (1^*)

Отличиеот гипотезы Эйнштейна здесь в следующем. Для фотонов первичны волновые характеристики (λ,νилиk,ω), а для других частиц (например, электронов) — корпускулярные (p,E).

Де Бройль предположил также, что любой свободной частице может быть поставлена в соответствие плоская волна, уравнение которой имеет вид

,

или, в комплексной форме:

.

Заменив k,ωпо вышеприведенным формулам, получим

. (2)

Это соотношение называют уравнением волны де Бройля для свободной частицы,волновой функцией, Ψ-функцией.

§2. Интерпретация волновой функции

Как показал Борн (1928), волновую функцию следует интерпретировать следующим образом: квадрат модуля Ψ определяет вероятность dwнахождения частицы в элементе объемаdV:

, (1)

где — комплексно-сопряженная функция.

Согласно (1),

, (2)

откуда следует, что модуль есть плотность вероятности нахождения частицы в данной точке пространства в окрестности элемента объемаdV.

В настоящее время соотношения (1) или (2) приняты за постулатыквантовой механики.

§3. Соотношения неопределенностей Гейзенберга

Если мы имеем дело с частицами массы порядка кг и размеров порядкам, то представления классической физики перестают быть справедливыми.

А именно, теряются представления о координате, импульсе и энергии частицы. О них можно говорить лишь приближенно. Однако, для интерпретации результатов эксперимента в квантовой физики этими понятиями пользуются.

Гейзенберг вывел соотношение, согласно которому нельзяодновременно сколь угодно точно определить импульс частицы и ее координату:

(1)

где Δp_x—неопределенностьимпульса, Δx — неопределенность координаты,— постоянная Планка.

Это соотношение можно записать относительно неопределенности энергии частицы и времени ее нахождения в данном состоянии:

Получили:

. (2)

Введем соотношение неопределенностейна следующем примере: поток частиц движется параллельно некоторой оси, перпендикулярной к экрану с отверстием. Ширина щелиa. На щели пучок дифрагирует и попадает на экран. Слева от экрана импульс частиц может быть строго определен, но это достигается ценой утраты определенности координатыx: . После щели практически все частицы попадут в область главного максимума, дифрагируя на углеφ. Максимальное отклонение импульса составит (−p).

Произведение неопределенностей координаты и импульса равно (согласно рис.)

Согласно законам дифракции , следовательно

.

Однако, согласно гипотезе де Бройля,

.

Тогда

.

Грубо говоря, мы получили тот же результат, что и в (1).