Ploskost_i_pryamaya_v_prostranstve

Федеральное агентство по образованию

___________________________________

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ»

_______________________________________

Плоскость и прямая в пространстве

Методические указания к решению задач

Санкт-Петербург Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ»

2011

ВВЕДЕНИЕ

Цель настоящих методических указаний заключается в том, чтобы представить набор типовых задач по следующим разделам аналитической геометрии: «Плоскость», «Прямая в пространстве», «Плоскость и прямая». Предложенный набор упражнений ориентирован на освоение ключевых теоретических понятий и утверждений посредством приобретения практических навыков решения стандартных задач по курсу. При этом не требуется применения каких-либо нетрадиционных приемов или теоретических утверждений, выходящих за рамки курса. В качестве литературы можно рекомендовать следующую:

Д.В. Беклемишев. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.

М.: Наука, 1970;

Д.Т. Письменный. Конспект лекций по высшей математике, ч. 1. М.: Айрис-Пресс, 2002;

А.В. Ефимов и др. Сборник задач по математике для втузов, ч. 1. М.: Издательство физико-математической литературы, 2003.

1.ПЛОСКОСТЬ

1.1.Основные сведения из теории

В декартовой системе координат xOy плоскость P может быть задана

уравнением одного из следующих видов. 1) Общее уравнение плоскости:

Вектор N ( A, B,C) перпендикулярен плоскости.

2) Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку

M 0 (x0 , y0 , z0 ) перпендикулярно нормальному вектору N ( A, B,C) , имеет вид

Здесь a,b,c − величины направленных отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях Ox,Oy,Oz соответственно, т.е. плоскость проходит через три точки: A(a, 0, 0) , B(0, b, 0) , C(0, 0, c) .

3

Кроме того, нам понадобятся следующие формулы, доказательство ко-

торых можно найти в теоретическом курсе.

4) Угол ϕ между двумя плоскостями

и

P2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0

равен углу между нормальными векторами N1 ( A1, B1,C1 ) и N2 ( A2 , B2 ,C2 ) :

6) Уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения двух плоскостей

P1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0

и

P2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 ,

следует искать в виде

Здесь α и β − некоторые числа.

Множество плоскостей, проходящих через линию пересечения двух заданных плоскостей, называется пучком плоскостей.

4

1.2. Решение типовых задач

Задача 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку

M 0 (2, 1, −1) , если задан нормальный вектор N (1, − 2, 3) .

Решение. Воспользуемся уравнением (1.2):

A(x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0.

Подставляя координаты вектора N и точки M 0 ,

получим

1(x − 2) − 2(y −1) + 3(z +1) = 0, или x − 2 y + 3z + 3 = 0.

Ответ: x − 2 y + 3z + 3 = 0.

Задача 2. Составить уравнение плоскости,

проходящей через точку M 0 (3, 4, −5) параллельно двум векторам a(3, 1, −1) и b (1, − 2, 1) .

(Векторы a и b называют направляющими векторами плоскости.)

Решение.

Первый способ. Пусть M (x, y, z) − произволь-

ная точка на плоскости. Тогда векторы M 0 M , a и

b должны быть компланарны, т.е. их смешанное произведение должно быть равно 0:

Подставим заданные координаты и вычислим определитель разложением по элементам первой строки:

5

Второй способ. Найдем сначала вектор N (см. рис. 1). Очевидно, что вектор нормали N к плоскости должен быть ортогонален также векторам a

и b . Поэтому его можно выбрать как векторное произведение

Затем выпишем общее уравнение плоскости, используя N (−1, − 4, − 7) ,

M 0 (3, 4, − 5) (см. формулу (1.2)). Получим

− (x − 3) − 4( y − 4) − 7(z + 5) = 0, или x + 4 y + 7z + 16 = 0.

Ответ: x + 4 y + 7z + 16 = 0.

∙ Полезная формула. Если плоскость проходит через точку M 0 (x0 , y0 , z0 ) ,

Замечание. Первый способ решения задачи предпочтительнее. Второй способ отличается лишь тем, что в нем смешанное произведение трех векто-

ров M 0 M , a , b вычисляется последовательно. А именно: сначала мы нахо-

вектор M 0 M . В дальнейшем мы будем придерживаться первого способа при решении задач.

Задача 3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки

M 1 (2, −1, 3), M 2 (3, 1, 2) параллельно вектору a(3, − 1, − 4) .

Решение. Пусть M (x, y, z) − произвольная точка на плоскости. Тогда век-

торы M1M , M1M 2 , a компланарны. Запишем ус-

ловие компланарности векторов через их координаты:

6

Подставляя заданные координаты, получим

Окончательно 9x − y − 7z − 40 = 0.

Ответ: 9x − y − 7z − 40 = 0.

∙ Полезная формула. Если плоскость проходит через две заданные точки

Задача 4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку

M 0 (-5, 2, -1) параллельно плоскости 3x − y + 5z − 8 = 0.

Решение. В качестве вектора N искомой плоскости можно выбрать нормальный вектор заданной плоскости, т.к. эти плоскости параллельны. Таким образом, имеем N (3, -1, 5) и M 0 (−5, 2, −1) . Подставляя координаты N и

M 0 в уравнение (1.2), получим

3(x + 5) − ( y − 2) + 5(z + 1) = 0, или 3x − y + 5z + 22 = 0.

Ответ: 3x − y + 5z + 22 = 0.

Задача 5. Найти величину острого угла между плоскостями

11x − 8 y − 7z − 15 = 0 и 4x − 10 y + z − 2 = 0.

Решение. Угол между плоскостями равен углу между нормальными век-

Отсюда ϕ = π . 4

Ответ: ϕ = π . 4

7

Задача 6. Чему равен угол между плоскостями 4x + y − z = 0 и

x + 2 y + 6z − 12 = 0 ?

Решение. Используем формулу (1.6) и подставим в нее координаты нор-

мальных векторов N1 (4, 1, −1) и N2 (1, 2, 6) .

A1 A2 + B1 B2 + C1C2 = 4 ×1 + 1× 2 + (-1) × 6 = 0.

Следовательно, эти плоскости перпендикулярны: ϕ = π . 2

Ответ: ϕ = π . 2

Задача 7. Составить уравнение плоскостей, которые проходят через точ-

ку M 0 (4, 3, 2) и отсекают на координатных осях отличные от нуля отрезки

одинаковой длины.

Решение. Воспользуемся уравнением плоскости в отрезках на осях (1.3). Рассмотрим сначала случай 1) a = b = c. Тогда получим

через точку M 0 (2, −3, 1) параллельно плоскости xOy ; 5) плоскость P5 , про-

ходящую через точку M 0 (1, 2, 3) и ось Oz .

Решение. 1) Плоскость 3y − 7 = 0 параллельна плоскости xOz и отсекает

на оси Oy отрезок, равный 7 (см. рис. 5).

3

8

Ответ: 3x + 3y + z − 8 = 0.

∙ Полезная формула. Если плоскость проходит через три заданные точки

10