§5. Дифракция Фраунгофера на щели

Пусть от источника Sраспространяется сферическая волна. С помощью линзы Л₁она превращается в плоскую волну, которая падает на щель шириной b.Лучи, дифрагировавшие на щели под угломφ, собираются на экране, находящемся в фокальной плоскости линзы Л₂,в точкеP.

Интенсивность дифракционной картины в точке Рэкрана определяется интерференцией вторичных волн, исходящих от всех элементарных участков щели и распространяющихся в точкуРв одной и том же направлении φ.

В виду того, что на щель падает плоская волна, фазы колебаний во всех точках щели одинаковы. Интенсивность в точке Рэкрана, обусловленная волнами, распространяющимися в направленииφ,будет определяться сдвигом фаз между волнами, исходящими от плоского фронта волныАВ, перпендикулярного направлению распространения волны (см. рис.), либо волнами, исходящими от любой плоскости, параллельной направлениюАВ. Сдвиг фаз между волнами, испускаемыми полоской Oв центре щели и полоской с координатойх,отсчитанной от центра щели, составляетkx sin φ(рис.) Если щель имеет ширину bи испускает волну с амплитудойE₀,то полоска с координатойxи ширинойdxиспускает волну с амплитудой (E₀/b)dx. От этой полоски в точкуРэкрана в направленииφпридет волна с амплитудой

. (1)

Множитель iωt, одинаковый для всех волн, приходящих в точкуРэкрана, можно опустить, так как при вычислении интенсивности волны в точкеРон исчезнет. Амплитуда результирующего колебания в точкеР, обусловленная наложением вторичных волн, пришедших в точкуРот всей щели, будет равна

, (2)

откуда

(2^*)

где ,λ — длина волны, испускаемая источником. Интенсивность волныI=E ²в точкеРэкрана будет равна

(3)

где I₀ —интенсивность волны, испускаемой щелью в направленииφ=0, когда (sinu/u)=1.

В точке Рбудет минимум интенсивности, если sinu=0 или

откуда (4)

(Это условие дифракционных минимумов темных полос на экране).

Условие дифракционных максимумов найдем, взяв производную oтI(φ) но u и приравняв ее к нулю, что приводит к трансцендентному уравнению tgu=u. Решить ато уравнение можно графически

Согласно рис. прямая y=uпересекает кривыеy=tg uпримерно в точках с координатой по оси абцисс, равной

, а такжеu= 0 →φ= 0. (5)

что позволяет написать приближенное, но достаточно точное решение уравнения tg u=uв виде

. (6)

О

I

ткуда получим, что условие дифракционных максимумов (светлых полос на экране) имеет вид

(7)

Замечание. Центральный максимум приφ=0 не входит в условие (7).

Р

sin φ

аспределение интенсивность на экране при дифракции света на одной щели представлено на рис.

§6. Дифракционная решетка

Дифракционной решеткойможно считать любое устройство, обеспечивающее пространственную периодическую модуляцию падающей на нее световой волны по амплитуде и фазе. Примером дифракционной решетки является периодическая система Nпараллельных щелей, разделенных непрозрачными промежутками, лежащих в одной плоскости. Расстояниеdмежду серединами соседних щелей называетсяпериодомилипостоянной решетки.

Дифракционная решетка обладает способностью разлагать немонохроматической излучение источника в спектр, создавая на экране смещенные относительно друг друга дифракционные картины, соответствующие разным длинам волн излучения источника.

Рассмотрим вначале формирование дифракционной картины для излучения источника с фиксированной длиной волны λ.

Пусть на решетку нормально падает плоская монохроматическая волна с длиной волны λ,а дифракционная картина наблюдается на в фокальной плоскости линзы Л.Дифракционная картина на экране представляет собой многолучевую интерференцию когерентных пучков света одинаковой интенсивности, идущих в точку наблюденияРот всех щелей в направленииφ.

Для расчета интерференционной картины (ИК) обозначим E₁(φ) амплитуду волны (формула (2) предыдущего §), пришедшей в точку наблюденияРот первого структурного элемента решетки, амплитуду волны от второго структурного элемента,от третьего —и т.д, где

(1)

— сдвиг фаз волн, приходящих в точку Рот соседних щелей с расстояниемdмежду ними.

Полная амплитуда колебаний,создаваемых в точкеРволнами, прихо­дящими в нее от всехNщелей дифракционной решетки, представляется суммой геометрической прогрессии

(2)

Интенсивность волны в точке Рравна ,где— комплексно сопряженная амплитуда. Получаем

(3)

где обозначено

, . (4)

Распределение интенсивности на экране, определяемое формулой (3)представлено на рис.

Замечание.Огибающаядифракционной картины — это интенсивность дифракционной картины от одной щели, умноженная наN ².