Поскольку координатами вектора является градиент

,

(1.4.1)

в котором коэффициенты при линейных членах уравнения регрессии b₁, b₂, … b_k не допустимо определять по результатам нескольких пробных экспериментов в окрестности исходной точки.

В этом случае приращение целевой функции y, соответствующее приращению x_i, можно считать пропорциональным значению производной

.

(1.4.2)

После нахождения составляющих градиента выполняется рабочий шаг по направлению к экстремуму (см. рис. 1.4.3.):

,

(1.4.3)

где р_ш – параметр рабочего шага, который выбирают в зависимости от его номера h на расстоянии от оптимума γ: p_н=p/(h,γ); p=const, h – номер шага; 0<γ<0,5, оптимально (γ=0,25).

Рис. 1.4.3

Показателем выхода в область оптимума является малое значение модуля градиента (grad y(x)→0), т. е. все коэффициенты b_i становятся незначимыми или равными 0.

В градиентном методе важен выбор шага, т. к. при слишком малом шаге необходимо большое число экспериментов, а если шаг велик, то можно «проскочить» экстремум.

Этот метод объединяет характерные элементы методов Гаусса-Зейгеля и градиента. Так, шаговое движение при этом методе осуществляется в направлении наибольшего изменения целевой функции (в направлении роста градиента), но в отличие от метода градиента корректировка направления движения проводится не после каждого шага, а после достижения частного экстремума целевой функции, как при методе Гаусса-Зейгеля.

Метод крутого восхождения (Бокса-Уилсона)

Практически поиск оптимума методом крутого восхождения выполняется следующим образом:

1) Вблизи исходной точки x₀ проводится эксперимент для определения grad y(x₀), результаты эксперимента подвергаются статистическому анализу, определяются коэффициенты b_i уравнения регрессии.

2) Вычисляется произведение b_i∆x_i, где ∆x_i – шаг варьирования параметра x_i при исследовании поверхности отклика в окрестности исходной точки.

Фактор, для которого произведение будет максимальным, принимается за базовый δ_δ∆x_i.

3) Для базового фактора выбирается шаг движения λ_δ по направлению к оптимуму, после этого вычисляются размеры шагов при крутом восхождении по остальным переменным процессам.

При движении к оптимуму по градиенту все исследуемые параметры должны изменяться пропорционально коэффициентам наклона поверхности отклика b_i:

.

(1.4.4)

4) Проводятся «мысленные» опыты, которые заключаются в вычислении

(1.4.5)

значений целевой функции в точках факторного пространства, лежащих на пути к экстремуму, при этом i-я координата (n+1)-й точки определяется

,

(1.4.6)

где h=1, ..., m, i=1, ..., k, λ_i=b_i∆x_i=b_i+(∆x_i)/n.

Прогнозируемое значение выходного параметра определяется из формулы

.

(1.4.7)

5) Поскольку каждый цикл крутого восхождения приближает к поверхности отклика с большей крутизной, рекомендуется для каждой последующей серии опытов выбирать шаг меньший, чем в предыдущей.

6) Эксперимент прекращается, когда все или почти все коэффициенты b_i уравнения (1.4.5) становятся незначимыми или равными нулю, что говорит о выходе в область экстремума целевой функции.

Пример: При помощи крутого восхождения для оптимизации математической модели процесса ультразвуковой сварки проволочных выводов ИМС в виде y=9,81+1,42x₁+1,27x₂+2,21x₃ определяем шаг варьирования: Δt=0,1 Δx_i, шаг движения x_i=b_i∆I, тогда x₁=0,005∙1,42=0,007, x₂=0,005∙1,27=0,006, x₃=0,5∙2,21=1,105, находится значение факторов x в начале опыта:

x₁’=x₁^ном+∆x₁b₁=0,15+(0,005∙1,42)=0,157; x₂’=x₂^ном+∆x₂b₂=0,15+(0,005∙1,27)=0,156; x₃’=x₃^ном+∆x₃b₃=10+(0, 5∙2,21)=11,1.

Начинают крутое восхождение в сторону увеличения переменных x₁, x₂, x₃, которые выбираются на уровне «1». Проводятся «мысленные» опыты, результаты которых заносятся в таблицу (табл. 1.4.1).

Наибольшее усилие отрыва Р=14,00 сН в 4-м опыте. Оно подтверждается экспериментальными данными. В пятом опыте y_э не подтверждается y_р, поэтому «восхождение» прекращают. Далее переходят к исследованию функции в стационарной области.

Шаговое движение к экстремуму продолжают до тех пор, пока не будет достигнута «почти стационарная» область, которая не может быть описана линейным выражением.

Таблица 1.4.1

Характеристики фактора и номер опыта	X1 (P, Вт)	Х2 (t,ْ C)	X3 (F, cH)	Расчетное yр	Экспериментальное yэ
Коэффициент bi	1,42	1,27	2,21	-	-
Шаг варьирования ∆i	0,005	0,005	0,5	-	-
Начальная точка	0,15	0,15	10	-	-+
В 1-м опыте	0,157	0,156	11,1	10,93	10,45
Во 2-м опыте	0,164	0,162	12,2	12,04	11,6
В 3-м опыте	0,171	0,168	13,3	13,16	12,42
В 4-м опыте	0,178	0,174	14,4	14,28	14,00
В 5-м опыте	0,185	0,18	15,5	15,4	12,2
В 6-м опыте	0,192	0,186	16,6	16,52	10,3

Здесь сильнее проявляется взаимодействие факторов, характеризуемых коэффициентами при квадратных членах полинома (1.4.8), поэтому данную область удается описать с достаточной точностью с помощью полинома второго порядка вида

.

(1.4.8)

Для вычисления полинома второго порядка уровней должно быть как минимум на единицу больше степени полинома.

Однако полный факторный эксперимент (ПФЭ) типа 3^k нерационален вследствие резкого роста числа экспериментов. Сократить их число можно, используя так называемые центральные композиционные планы (ЦКП).

Их особенностью является добавление нескольких специально спланированных экспериментальных точек к матрице ПФЭ для получения плана второго порядка.

При k факторах общее число опытов ЦКП

N=2k+2k+m0,

(1.4.9)

где 2k – звездные точки, а m₀ – число опытов в центре плана.

Т. о., к линейной модели добавляются так называемые «звездные точки» с координатами (0, α), лежащими на сфере диаметром 2α (рис. 1.4.4), и опыты начинают в центре плана.

Бокс и Уилсон предложили выбирать плечо α и количество центральных точек (m₀=1) так, чтобы план второго порядка оставался ортогональным (ЦКОП). При k=3 он содержит всего 15 опытов, тогда как при ПФЭ 3³=27.

Рис. 1.4.4

В силу ортогональности плана все коэффициенты определяются независимо друг от друга по следующей системе:

;

(1.4.10)

В отличие от линейного полинома при ортогональном планировании второго порядка оценки коэффициентов полинома находятся с неодинаковыми дисперсиями σ²{b_i}=σ²{b_ij} по системе уравнений (1.4.10). А дисперсия при квадратичных членах уравнения регрессии рассчитывается по формуле

.

(1.4.11)

Так же, как и при синтезе линейной модели, обработка результатов при реализации ЦКОП предполагает статистические проверки гипотез воспроизводимости результатов экспериментов, значимости коэффициентов и адекватности моделей.

Полученная модель второго порядка используется для нахождения оптимальных технологических режимов.

Для двух независимых переменных уравнение в канонической форме имеет вид

.

(1.4.12)

Поверхность отклика в зависимости от вида уравнения может быть трех видов:

– если коэффициенты В₁₁ и В₂₂ имеют одинаковые знаки, то поверхность отклика – эллиптический параболоид, центр которого – искомый экстремум;

– при разных знаках В₁₁ и В₂₂ поверхность отклика относится к типу минимакса, или «седла».

Для нахождения оптимальных технологических режимов целесообразно двигаться по благоприятному крылу «седла».

Если один из коэффициентов равен нулю, то поверхность отклика имеет форму нарастающего возвышения (рис. 1.4.5).

Рис. 1.4.5

Для отыскания оптимума следует двигаться по гребню, пока это допускает возможности технологического процесса.

Так (см. пример), уместно оценить оптимальные значения всех факторов, в т. ч. Х₂(t, ْC) и X₃(F, cH).