3.2. Структурные схемы сау и правила их преобразования

Структурной схемой называется графическое представление математической модели системы в виде соединений звеньев.

К обычным линейным динамическим звеньям относятся: усилительное (безынерционное, пропорциональное), интегрирующее, устойчивое колебательное (при ξ≈1 – апериодическое и при ξ=0 – консервативное), дифференцирующее первого порядка, дифференцирующее второго порядка.

К особым элементарным звеньям линейных САУ относят: неминимальнофазовые, неустойчивые, с распределёнными параметрами, иррациональные, трансцендентные.

Структурно звенья изображаются условными символами (рис. 3.2.1), чаще всего в виде прямоугольников с указанием входных и выходных величин, а также передаточной функции или уравнения этого звена.

Рис. 3.2.1

Исключение составляет суммирующее звено, которое чаще изображают в виде круга, для наглядности разделенного на секторы, как показано на рис. 3.2.2.

Рис. 3.2.2

Для обозначения обратной (отрицательной) величины сектор затемняют или ставят знак «–».

Основные выражения для преобразования структурных схем определяются при известных передаточных функциях в операторной форме [K₁(p), K₂(p), …, K_n(p)] (p – оператор дифференцирования) или в преобразованиях Лапласа [W₁(s), W₂(s), …, W_N(s)] (s – оператор преобразования Лапласа) и представляют собой передаточные функции звеньев.

Основные типы соединений звеньев – это последовательное, параллельное и обратное.

Последовательное соединение (рис. 3.2.3) – это соединение, при котором выходная величина предшествующего звена является входным воздействием последующего звена

При преобразовании структурных схем цепочку из последовательно соединенных звеньев можно заменить одним звеном с передаточной функцией, равной произведению передаточных функций отдельных звеньев

W=ΠWi по всем i=[1, …, n].

(3.2.1)

Рис. 3.2.3

Параллельное соединение – это соединение, при котором на входы всех звеньев подается одно и то же воздействие, а выходные величины суммируются.

Цепь из параллельно соединенных звеньев (рис. 3.2.4) можно заменить одним звеном с передаточной функцией, равной сумме передаточных функций входящих в неё звеньев

W=ΣWi по всем i=[1, …, n].

(3.2.2)

Обратное соединение (рис. 3.2.5) – это соединение, при котором звено охвачено обратной связью. При этом выходной сигнал одного звена через какое-либо другое звено подается на вход первого.

Рис. 3.2.4 Рис. 3.2.5

Такое соединение называют соединением обратной связи. Участок цепи от точки приложения входного воздействия х до точки съема выходного сигнала у (в направлении распространения сигнала) называют прямой цепью, а участок от точки съёма выходного сигнала до сумматора называют обратной связью.

Если сигнал обратной связи х₁ вычитается из входного воздействия х, то обратная связь называется отрицательной (ε=х-х₁), в противном случае – обратная связь называется положительной (ε=х+х₁).

Если передаточная функция W_ос=1, то обратная связь называется единичной, а схему структурно изображают, как показано на рис. 3.2.6.

Рис. 3.2.6

Звено, охваченное обратной связью, можно заменить одним звеном с передаточной функцией

W=Wп/(1±WпWос),

(3.2.3)

где знак «+» в знаменателе правой части берётся при отрицательной обратной связи, а знак «-» - при положительной обратной связи. Это объясняется тем, что петлевое преобразование W_пW_ос может быть действительным числом W_пW_ос>0, тогда положительная связь, а если W_пW_ос>0, но действительное число, то обратная связь является отрицательной.

Величина (1±W_пW_ос) – глубина обратной связи. При размыкании замкнутой цепи сразу после сумматора получается цепь из двух последовательно соединенных звеньев, её передаточная функция, равная W_р=W_пW_ос, называется передаточной функцией разомкнутой цепи (системы), она и определяет петлевое преобразование.

Перенос сумматора. При переносе сумматора через звено по ходу распространения сигнала добавляется звено с передаточной функцией, равной передаточной функции звена, через которое переносится сумматор, что поясняется рис. 3.2.7.

Рис. 3.2.7

При переносе сумматора через звено против хода сигнала добавляется звено с передаточной функцией, равной обратной передаточной функции звена, через которое переносится сумматор (рис. 3.2.8).

Рис. 3.2.8

При переносе сумматора возникают неэквивалентные участки цепи (обозначено жирными линиями). Поэтому при преобразовании структурных схем нельзя переносить сумматор через точку съёма сигнала (без специальных мер преобразования).

Перенос узла. При переносе узла через звено по ходу сигнала добавляется звено с передаточной функцией, равной обратной передаточной функции звена, через которое переносится узел (рис. 3.2.9).

Рис. 3.2.9

При переносе узла через звено против хода сигнала добавляется звено с передаточной функцией, равной передаточной функции звена, через которое переносится узел (рис. 3.2.10).

Рис. 3.2.10

Перестановка узлов (рис. 3.2.11) и сумматоров (рис. 3.2.12) допустима, но при перестановке сумматоров участки (выделено жирным) между сумматорами не являются эквивалентными.

Рис. 3.2.11

Рис. 3.2.12

Вычисление передаточной функции одноконтурной системы. Замкнутая система называется одноконтурной, если при её размыкании (сразу после сумматора) получается цепочка из последовательно соединенных звеньев, или цепь, не содержащая параллельных соединений и обратных связей (рис. 3.2.13.).

Рис. 3.2.13

Используя правила преобразования при последовательном и обратном соединениях, получают следующее правило: передаточная функция W_yx одноконтурной системы относительно входа х и выхода у равна передаточной функции прямой цепи W_п, деленной на (1+W_р) при отрицательной и – на (1-W_р) при положительной обратной связи:

Wyx=Wп/(1±Wp),

(3.2.4)

где W_p=W_пW_ос – передаточная функция разомкнутой цепи.

Вычисление передаточной функции многоконтурной системы. Замкнутая система называется многоконтурной, если при её размыкании получается цепь, содержащая параллельные или обратные связи; или замкнутая система называется многоконтурной, если она кроме главной обратной связи содержит параллельные или местные обратные связи.

Многоконтурная система не имеет перекрещивающихся связей, если любые два контура, образованные параллельными или обратными связями, не имеют общих участков (рис. 3.2.14), или если один контур вложен внутрь другого (рис. 3.2.15).

Рис. 3.2.14

Рис. 3.2.15

Многоконтурная система имеет перекрещивающиеся связи, если какие-либо два контура, образованные параллельными или обратными связями, имеют общий участок (на рис. 3.2.16 выделен жирными линиями).

При вычислении передаточных функций нужно, прежде всего, освободиться от перекрещивающихся связей путем переноса и перестановки сумматоров и узлов. Затем, используя правила преобразования параллельного и обратного соединений, преобразовать многоконтурную систему в одноконтурную.

Рис. 3.2.16

Пример. Определить y системы на воздействия x₁ и x₂.

Алгоритм решения задачи выполняется в последовательности:

а) сумматор 2 представить в виде двух сумматоров 2₁ и 2₂, узел 2 перенести через звено W₃ по ходу сигналов x₁ и x₂, а узлы 3 и 4 расположить на одной прямой узлов и сумматоров;

б) контур звена W₁ и сумматор 2₂ заменить одним звеном с W_a=W₁/(1–W₁), цепочку из звеньев W₄ и 1/W₃ заменить одним звеном c W_b=W₄/W₃, цепочку из звеньев W₂ и W₃ заменить одним звеном c W_c=W₂W₃ сумматор 3 представить в виде сумматоров 3₁ и 3₂;

в) контур из сумматора 3₂, звена W_C, узла 3 и звена W₅ заменить одним звеном с W_e=W_c/(W_c–W_cW₅);

г) преобразовать схему для анализа по входу x₁ и входу x₂, соответственно

или, для наглядности, в таком виде

д) по входам x₁ и x₂ – цепочку W_aW_e=W_k, а вложенный контур из W_a, W_e, узла 3 и сумматора 2₁ заменить на звено с W_m=W_aW_e/(1–W_aW_eW_b), а контур из W_m, узла 4 и сумматора 3₁ заменить звеном W_v, тогда y_x1=x₁W_v, а y_x2=x₂W_v/W_a, а, с учетом принципа суперпозиции, y=x₁W_v+x₂W_v/W_a.