5.18. Для управления ориентацией космического аппарата

Движение космического аппарата (КА) вокруг цента масс, как твердого тела произвольной конфигурации с тремя вращательными степенями свободы, описывается уравнениями вида:

дL/дt=0,5L(t)▫w(t);	(5.18.1)
I1дw1/дt=M1(t)–(I3–I2)w2(t)w3(t);	(5.18.2,а)
I2дw2/дt=M2(t)–(I1–I3)w1(t)w3(t);	(5.18.2,б)
I3дw3/дt=M3(t)–(I2–I1)w1(t)w2(t),	(5.18.2,в)

где L(t)=l₀(t)+l₁(t)+l₂(t)+l₃(t) – кватернион поворота КА; w(t)=w₁(t)i₁+w₂(t)i₂+w₃(t)i₃ – фазовые координаты (вектор угловой скорости) КА; M(t)=[M₁(t), M₂(t), M₃(t)]^T – вектор управления (вектор внешнего момента, действующего на КА).

Фазовые координаты и управление подчинены требованиям задачи Л. С. Понтрягина типа L(t), w(t); ||L||=l₀²(t)+l₁²(t)+l₂²(t)+l₃²(t)=1; i₁, i₂, i₃ – орты гиперкомплексного пространства (мнимые единицы Гамильтона). В динамических уравнениях Эйлера (5.18.1) и (5.18.2) для КА l₁(t), l₂(t), l₃(t) – главные центральные моменты инерции КА.

На модуль вектора управления наложено ограничение

| |≤Mmax.

(5.18.3)

Задав произвольные граничные условия по угловому положению

(0)= 0, (T)= T

(5.18.4)

и угловой скорости КА

(0)= 0, (T)= T,

(5.18.5)

требуется определить оптимальное управление _опт(t) системой (5.18.1) и (5.18.2) при ограничении (5.18.3) на управление и граничных условиях (5.18.4) и (5.18.5) минимизирующих функционал

J= (α1+α2| |)dt,

(5.18.6)

где α₁≈α₂=const>0, время T не задано.

Записав уравнения Эйлера (5.18.2,а, 5.18.2,б и 5.18.2,в) в виде

w*=R0M–R1(w)w,

(5.18.7)

где R₀ и R₁(w) – матрицы размерности 3×3 вида

R0= ;	(5.18.8)
R0= ;¤	(5.18.9)

выполняется процедура принципа максимума Понтрягина, для чего вводятся вспомогательные функции Q(t) и p(t) (кватернион и вектор, соответственно), соответствующие фазовым координатам L(t) и w(t).

При этом функция Гамильтона-Понтрягина принимает вид

H= –q*(α1+α2|M|),

(5.18.10)

где q^*≥0=сonst так как при q^*=0 функция Гамильтона-Понтрягина соответствует задаче оценки быстродействия и не учитывает критерий (5.18.6).

При q^*=1 сопряженная система представима выражением

,

(5.18.11)

здесь символ «¤» - символ кватерионного умножения, vect (^●) – векторная часть кватерниона, а R (w) – матрица размерности 3×3.

Введя обозначение

p=vect (L*¤Q)=L*¤cv¤L,

(5.18.12)

где c_v – произвольная векторная постоянная.

Для задачи оптимального разворота сферически симметричного КА, положив I₁=I₂=I₃=1, c критерием (5.18.6) функция Гамильтона-Понтрягина (59.10) имеет вид

H=–(α1+α2|M|)+<w, p>/2+<φ, M>,

(5.18.13)

а краевая задача принципа максимума представима выражениями вида

2L*=L¤w;	(5.18.14)
w*=Mопт;	(5.18.15)
p= L*¤cv¤L, cv=const;	(5.18.16)
φ*= –p/2;	(5.18.17)
L(0)=L0, L(T)=LT;	(5.18.18)
w(0)=0, w(T)=0.	(5.18.19)

Записав (5.18.16) в дифференциальном виде

p*=p×w,

(5.18.20)

(здесь символ «×» – векторное произведение), и приняв w||p, из (5.18.20) p=p₀=p(0)=const, φ определяется из

φ= –p/2+ φ(0), φ0=const||p0.

(5.18.21)

Функция Гамильтона-Понтрягина на участке t [0, τ₁] принимает вид

Hопт= –(α1+α2Mmax)+<Mmaxtpe, pe>/2+Mmax<φ, φ/|φ|>0.

(5.18.21)

По приведенному выше алгоритму управления требуется выполнение условий φ₀↑↑p_e и |φ₀|≥α₂, в противном случае, с ростом t увеличивается |φ(t)|, следовательно, алгоритм управления не имеет участка свободного движения. Если же |φ_0<α₂, то алгоритм управления на первом участке носит пассивный характер, т. е. M^опт=0, тогда, используя (5.18.21)

Mmax<φ, φ/|φ|>=Mmax(|φ0|–|cv|t/2),

(5.18.22)

так как φ/|φ|=p_e, |p₀|=|c_v|.

Но траектория движения КА, при t=T,

L(T)=L0¤exp{Mmax(τ1 τ2+T(T–τ2)+[(τ12+τ22–T2)/2]pe/2,

откуда

T2/2–τ1T+τ1τ2+(τ12–τ22)/2=θ/Mmax,	(5.18.23)
Θ=2arccos [sgal (L0*¤LT)].

Таким образом функция Гамильтона-Понтрягина на участке t [0, τ₁] принимает вид

Hопт=–(α1+α2Mmax)+Mmax|φ0|=0,

(5.18.24)

тогда

τ1=T–τ2;	(5.18.25)
|φ(τ1)|=α2= |cv|τ1/2+|φ0|;		(5.18.26)
|φ(τ2)|=α2= |cv|τ2/2–|φ0|.	(5.18.27)

Откуда

τ1=2(|φ0|–α2/|cv|; τ2=2(|φ0|+α2/|cv|;

(5.18.28)

а, с учетом (5.18.25)

τ1+τ2=T,

(5.18.29)

и, подставляя значения τ₁ и τ₂ из (59.28),

|φ0|=|cv|T/4.

(5.18.30)

С учетом (5.18.24) и (5.18.30), |c_v|, |φ₀|, τ₁ и τ₂ описываются в виде

|cv|=4(α1+α2Mmax)/TMmax;	(5.18.31)
|φ0|=4(α1+α2Mmax)/Mmax;	(5.18.32)
τ1=T/2–α2TMmax/[2(α1+α2Mmax)],	(5.18.33)
τ2=T/2+α2TMmax/[2(α1+α2Mmax)],	(5.18.34)

а, подставляя τ₁ и τ₂ в (5.18.23) и решая это уравнение относительно T,

T=2(α1+α2Mmax){Θ/[α1(α1+2α2Mmax)]}1/2.

(5.18.35)

Теперь задача управления ориентацией КА решена полностью.

Что демонстрируется рис. 5.18.1.

Рис. 5.18.1