2.8. Элементарные звенья систем автоматического управления

Общие характеристики

Техническими элементами систем автоматического и автоматизированного управления технологическим оборудованием являются средства получения, преобразования и регистрации первичной информации, а также аналоговые и цифровые вычислительные средства и исполнительные устройства.

Средства получения, преобразования и регистрации первичной информации – это датчики и вторичные приборы (непрерывные – аналоговые и дискретные).

К аналоговым средствам относятся датчики непрерывного действия, усилители, аналоговые вычислительные машины (АВМ), исполнительные устройства и регуляторы непрерывного действия.

Исполнительными устройствами являются технические элементы, оказывающие непосредственное физическое воздействие на технологические процессы (ТП).

При рассмотрении общих характеристик технических элементов считается, что любой из них можно представить как преобразователь входного сигнала x в выходной y. Тогда любой элемент реализует некоторую функциональную зависимость преобразования вида y=F(x).

Любой элемент или систему автоматики можно характеризовать следующими главными показателями: коэффициентом преобразования, погрешностью, порогом чувствительности, степенью устойчивости и колебательностью. Первые три показателя качества называют прямыми, а два последних – косвенными. К прямым показателям также относят быстродействие, а применительно к регуляторам – время регулирования и величину перерегулирования.

К косвенным показателям качества систем автоматического управления и регулирования (САУ и Р) относят корневые показатели (степень устойчивости и колебательности), частотные (устойчивость по амплитуде и запас устойчивости по фазе) и интегральные (квадратичные интегральные) оценки.

1. Коэффициент преобразования – это отношение выходной величины ко входной

k=y/x

(2.8.1)

или отношение их приращений

k’=Δy/Δx,

(2.8.2)

а в пределе при Δx→0

k’=δy/δx,

(2.8.3)

что поясняется рис. 2.8.1.

Единица измерения коэффициента преобразования обусловлена единицами измерения величин x и y.

Иногда используют безразмерный относительный коэффициент преобразования η, которым называют отношение относительных приращений выходной и входной величин

η=(Δy/y)/(Δx/x)=(Δy/Δx)/(y/x)

(2.8.4)

или, при x→0,

η’=(dy/dx)/(y/x).

(2.8.5)

Если функция y=F(x) является пропорциональной зависимостью, то k=k’=const, а η=η’=1.

Применительно к отдельным функциональным элементам коэффициент преобразования называют по-разному. Для датчиков – это чувствительность, для радиоламп – это крутизна характеристики, для усилителей – это коэффициент усиления по току, напряжению или мощности и т. д.

Требования к значению коэффициента преобразования обусловлены назначением элемента. Так, например, применительно к датчикам требуется максимальная чувствительность (желательно чтобы k→max), а к стабилизаторам – минимальная (желательно чтобы k→0).

Следует отметить, что многие системы (элементы, звенья) обладают обратной связью. Например, усилители могут обладать обратной связью по току и напряжению.

Для увеличения k используется положительная обратная связь, а для стабилизации k – отрицательная обратная связь.

2. Погрешность – отклонение выходной величины y от истинного её значения вследствие изменения внутренних свойств элемента или внешних условий его работы (рис. 2.8.2).

3. При наличии погрешности фактическая характеристика y_ф=F(x) отлична от градуировочной y_г=F(x). Погрешность может иметь различные названия в зависимости от причин, вызвавших её. Она может быть температурной, частотной, зависеть от колебаний напряжения питания, обусловленной старением элементов и др.

Рис. 2.8.1 Рис. 2.8.2

При характеристике свойств элементов используют понятия абсолютной, относительной и приведенной относительной погрешности.

4. Абсолютная погрешность

Δy=|yф–yг|,

(2.8.6)

где y_ф – фактическое значение выходной величины, а y_г – её градуировочное значение.

5. Относительная погрешность выражается в % по

δ=(Δy/y)×100,

(2.8.7)

а приведенная относительная погрешность – по

δп=(Δy/ymax)×100,

(2.8.8)

где y_max – максимальное значение выходной величины, определяющее диапазон её изменения.

Обычно для оценки точности элементов используется приведенная относительная погрешность.

5. Порог чувствительности – минимальное по абсолютной величине приращение входной величины Δx, вызывающее изменение выходной величины y. Интервал [x₁÷x₂] (рис. 2.8.3) называют зоной нечувствительности.

Причиной существования порога чувствительности является наличие люфтов, трения или гистерезиса у различных исполнительных устройств (двигателей, реле и т. д.), а также наличие дрейфа и шумов на выходе усилителей.

6. Временем регулирования (быстродействием) t_р называют минимальное, с момента подачи ступенчатого воздействия, время, когда отклонение выходной величины от установившегося значения не превышает некоторой заданной величины отклонения (Δ). Обычно принимают Δ=(0,05÷0,1)h(∞), где h(∞) – установившееся значение переходной характеристики. Значение t_р определяется из y=xWe^-jωt или из y(е)=y_maxe^-jωt.

Для определения t_р проводят параллельно прямой (рис. 2.8.4) h(t)=h(∞) на расстоянии Δ прямые выше и ниже переходной характеристики (прямой h(∞)), тогда время t_р – это время с момента подачи ступенчатого воздействия, когда переходная характеристика в последний раз пересекает любую из двух проведенных прямых на расстоянии Δ.

7. Перерегулирование (в теории автоматического регулирования) определяется по (рис. 2.8.4)

σ={[hmax–h(∞)]/h(∞)×100 %,

(2.8.9)

где h_max – максимальное значение переходной функции h(∞). Если h(∞)=0, то перерегулирование σ=(h_max/А₀)×100 %, здесь А₀ – ступенчатая реакция на единичное 1(t) воздействие (x₀=1(t)), обычно А₀=1, а Δ=0,01÷0,1 А₀

Рис. 2.8.3 Рис. 2.8.4

8. Устойчивость. Непрерывная линейная стационарная САУ или САР называется устойчивой, если асимптотически устойчиво какое-либо её невозмущенное (заданное) движение.

Если заданы внешние воздействия, то уравнение линейных стационарных САУ или САР можно представить в виде

(a0pn+a1pn-1+ …+an)x(t)=y(t),

(2.8.10)

где a_i (i=0, 1, …, n) – заданные постоянные коэффициенты, pⁱ – символы дифференцирования указанных (i) порядков, а y(t) – заданная функция реакции во времени.

Общее решение уравнения (13.10) имеет вид

x(t)=xв(t)+xс(t),

(2.8.11)

где x_в(t) – частное решение неоднородного уравнения (2.8.10), а x_с(t) – общее решение однородного уравнения

(a0pn+a1pn-1+ … +an) x(t)=0.

(2.8.12)

Частное решение x_в(t) определяет вынужденное движение, а общее решение x_с(t) – свободное движение, т. е. движение, которое не зависит от внешних воздействий и определяется только начальными условиями.

Невозмущенное движение задается внешним задающим воздействием и при отсутствии внешних возмущающих воздействий совпадает с вынужденным движением x_в(t), поэтому линейная система устойчива, когда выполняется условие

lim xc(t)=0 при t→∞.

(2.8.13)

Это соотношение можно принять за определение устойчивости линейных непрерывных систем и звеньев. Устойчивость линейной системы, т. е. выполнение условия (2.8.13), зависит от её характеристического уравнения

a0pn+a1pn-1+ … +an,

(2.8.14)

левая часть которого называется характеристическим полиномом. Характеристический полином системы, с точностью до постоянного множителя и обозначений переменной, совпадает с её собственным оператором и знаменателем её передаточной функции. Характеристический полином замкнутой системы при отрицательной обратной связи (рис. 2.8.5) равен сумме R(s)+Q(s) числителя R(s) и знаменателя Q(s) передаточной функции W(s)=R(s)/Q(s) разомкнутой системы.

Рис. 2.8.5 Рис. 2.8.6

Для того чтобы линейная непрерывная система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные вещественные части, т. е. требуется выполнение условия

Re xi<0, i=[1, …, n].

(2.8.15)

На комплексной плоскости (рис. 2.8.6) корни можно представить в виде точек, при этом корни с отрицательной вещественной частью расположатся в левой, разделенной осью ординат, полуплоскости.

Для того чтобы линейная непрерывная система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни её характеристического уравнения были бы левыми, т. е. располагались бы в левой полуплоскости.

В общем случае, если все постоянные коэффициенты характеристического уравнения САУ положительны – система устойчива.

В частном случае, для устойчивости линейных непрерывных систем первого и второго порядков необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были бы одного знака (или все больше нуля, или все меньше нуля). Это обстоятельство, очевидно, позволяет судить об устойчивости указанных систем без вычисления корней их характеристических уравнений.

Качество системы можно рассматривать, только если она устойчива. Неустойчивые системы – неработоспособны.

К корневым показателям качества систем относятся степень устойчивости и колебательности.

6. Степенью устойчивости ζ называется расстояние от мнимой оси (рис. 2.8.6) до ближайшего корня характеристического уравнения, т. е.

ζ=min|Re xi|

(2.8.16)

для всех x_i. Степень устойчивости системы характеризует её быстродействие. При прочих равных условиях, чем больше ζ, тем быстрее затухает переходной процесс.

7. Колебательность определяется (рис. 2.8.6) как

μ=max|Im xi/Re xi|=|Immaxxi/Reminxi|,

(2.8.17)

где значение μ – мера склонности системы к колебаниям.