4.2. Моделирование возмущенного движения транспортного средства

Основным результатом оценки динамических и точностных характеристик системы автоматического управления (СУ) транспортным средством (ТС), например самолетом (ЛА), являются натурные эксперименты (испытания). Однако в целях предварительной оценки должны быть привлечены результаты математического и стендового моделирования. Использование результатов моделирования контура «СУ-ТС» является обоснованным, если продемонстрирована их сходимость с результатами натурного эксперимента. При оценке адекватности математической модели ЛА выделяют, по крайней мере, два аспекта – детерминированный и статистический.

Первый из них предполагает оценку сходимости результатов моделирования и испытаний по критерию динамического подобия, которое устанавливается путем сравнения динамических характеристик ЛА, полученных в результате расчета и эксперимента в условиях детерминированных возмущений повышенной интенсивности.

Уравнения движения ЛА с СУ составляются по результатам аэродинамических продувок, контролируемых аппаратными средствами с резервированием их функциональных возможностей. При этом проверке подвергается математическая модель, которая затем используется в процессе статистического моделирования для уточнения характеристик СУ.

При этом полный диапазон возможных изменений контролируемых параметров движения ЛА делится на две области: больших (Δh>±4÷5 σ) и малых (Δh<±2÷3 σ) ошибок управления.

Действие на ЛА возмущения чаще всего является нормальным случайным процессом; динамическая система «ЛА–СУ» в малом диапазоне изменения её переменных квазилинейна и обладает свойством нормализовать проходящие через неё сигналы, что позволяет в диапазоне Δh<±2÷3 σ распределение ошибок управления считать нормальным. Статистическое моделирование проводится с учетом имеющих место в натурных экспериментах случайных факторов (веса, центровки, ветра и т. д.) как в части диапазона их изменения, так и частоты варьирования различных уровней. Натурные (лётные) испытания статистически независимы и охватывают ожидаемые условия будущей эксплуатации ЛА.

Предполагается, что математическая модель и реальный ЛА статистически подобны, если расчетные и опытные выборки извлечены из одной и той же генеральной нормально распределенной совокупности.

Традиционные критерии статистического подобия двух выборок, извлеченных из нормально распределенной генеральной совокупности, основаны на сравнении дисперсии и математического ожидания.

Дисперсии признаются равными, если выполняется правило (критерий Фишера)

S12/S22≤F(1–a)(n1–1, n2–1),

(4.2.1)

где выборочные оценки дисперсии параметров соответственно определимы из выражений

S12=(n1–1)–1 (xi– 1)2; S22=(n2–1)–1 (xi– 2)2,

где x_i – значение исследуемого параметра в i-м эксперименте (расчетно или экспериментально полученное);

₁=n₁^-1 x_i; ₂=n₂^-1 x_i;

n₁, n₂ – объемы выборок; F_(1–a)(n₁–1, n₂–1) – квантиль распределения Фишера с (n₁–1, n₂–1) степенями свободы уровня (1–α); α – уровень значимости.

Для сравнения математических ожиданий используется одно из следующих решающих правил:

| 1– 2|/[(n1+n2)/n1n2]-1/S≤t(1–a/2)(n1+n2–2),

(4.2.2)

где

S=S12(n1–1)+S22(n2–1)/(n1+n2–2);

T_(1–a/2)(n₁+n2–2) – квантиль распределения Стьюдента с числом степеней свободы уровня (1–a/2)=(n₁+n₂–2): при принятии гипотезы неравенства дисперсии

| 1– 2|/(S12n1+S22n2)-1/2≤t(1–a/2)(V),

(4.2.3)

где число степеней свободы V определяется в соответствии с правилом Сэттервейта:

V=(S12/n1+S22n2)2/[(S12n1)2/(n1–1)+(S22n1)2/(n2–1)]

(4.2.3)

и в зависимости от конкретных значений S₁² и S₂² меняется в диапазоне

min{n₁, n₂}≤=(n₁+n₂–2).

Применение решающих правил (4.2.1) и (4.2.2) в случае статистической неоднородности сравниваемых выборок позволяет выявить источник неоднородности – систематические и/или случайные ошибки.

Однако выше описанные критерии имеют два существенных недостатка:

- для принятия решения необходимо наличие серии натурных экспериментов, и в случае проведения доработок требуется повторение всего объёма натурных экспериментов;

- раздельное сравнение дисперсии и математических ожиданий приводит к снижению достоверности принимаемых решений, так как

(1–а)=(1–а₁)(1–а₂),

где а₁ и а₂ – уровни значимости при проверке равенства дисперсии и равенства математических ожиданий.

Приведенные ниже критерии проверки однородности результатов моделирования натурных экспериментов лишены указанных недостатков. Решение о статистической однородности результатов моделирования и натурных экспериментов может быть принято после проведения каждого натурного эксперимента с использованием следующего критерия отбраковки аномальных значений параметров:

|x– |/[(n+1)/n]–1/S<t(1–a/2)(n–1),

где оценки , S² определены по результатам моделирования.

Проблема множественного сравнения может быть решена переходом на сравнение толерантных интервалов. Следует отметить, что при построении толерантного интервала по результатам выборки (x₁÷x_n) объёма n из генеральной совокупности, имеющей нормальное распределение N(m, σ²), определяют его границы, являющиеся реализациями функций выборок X_н, X_в, относительно которых справедливо утверждение: внутри толерантного интервала с доверительной вероятностью γ заключается не менее чем доля R всей совокупности, т. е.

P{X_н≤x≤X_в}≥R=γ

или

P{ f(x)dx_н≤x≤X_в}≥R=γ,

где f(x) – плотность распределения вероятности параметра x. Оценка толерантного множителя z, значения которого табулированы для различных значений n, R и γ, причем, z≈(x– )S – нормально распределено с математическим ожиданием

M|z|=U_r

и дисперсией

D|z|=1/n+z²/2(n–1),

где U_r – квантиль стандартного нормального распределения.

Таким образом, задача сравнения статистической однородности двух выборок сводится к сравнению двух математических ожиданий при неравных дисперсиях.

Соответствующее решающее правило имеет вид

|z1–z2|(D1+D2)–0,5≤U(1–a/2).

(4.2.4)

Достоверность принимаемых решений характеризуется вероятностями ошибок первого α и второго β рода (вероятностями ошибочных приемки и отбраковки, соответственно). Для определения значения β необходимо задать альтернативные гипотезы.

При проверке равенства дисперсий альтернативную гипотезу удобно представлять в виде

σ₁=kσ₂.

Тогда зависимость между α, β, k и n определяется из граничных соотношений

S₁²/S₂=F_(1–α)(n₁–1, n₂–1);

S₁²/kS₂²=F_β(n₁–1, n₂–1),

откуда «расстояние» между нулевой и альтернативной гипотезами определимо из выражения

k=F_(1–α)(n₁–1, n₂–1)/F_β(n₁–1, n₂–1).

Таким образом, при принятии гипотезы равенства дисперсий с вероятностью β, эти дисперсии могут различаться в k раз.

При проверке равенства математических ожиданий альтернативную гипотезу удобно задавать в виде

m₁=m₂+Δ.

Тогда при альтернативной гипотезе статистика равна

| ₁– ₂|/[(xn₁+n₂)/n₁n₂]^–1/S

с параметром нецентральности

(Δ/σ)[(n₁+n₂)/n₁n₂]^1/2.

Нецентральное распределение уже при n≥5 удовлетворительно аппроксимируется нормальным распределением, т. е.

P{| ₁– ₂|/[(n₁+n₂)/n₁n₂]^–1/S>t_(1–a/2)(n₁+n₂–2), (Δ/σ)[(n₁+n₂)/n₁n₂]^1/2}=

=1–Ф{t_(1–a/2)(Δ/σ)[(n₁+n₂)/n₁n₂]^1/2[1+0,5t_(1–a/2)²/(n₁+n₂–2)]^–1/2}=1–β,

где Ф – интегральная функция стандартного нормального распределения. Следовательно,

U_β=t_(1–a/2)(Δ/σ)[(n₁+n₂)/n₁n₂]^1/2[1+0,5t_(1–a/2)²/(n₁+n₂–2)]^–1/2.

При использовании решающего правила (36.4) альтернативная гипотеза задается в виде

U_R1=U_R2+ΔU_R.

Тогда зависимость между a, β, n и ΔU_R1 определяется из граничных условий

|z₁–z₂|(D₁+D₂)^–1/2=U_(1–a/2) и |z₁–z₂+ΔU_R|(D₁+D₂)^–1/2,

и, следовательно,

ΔU_R|(D₁+D₂)^–1/2=U_(1–a/2)–U_β.

Таким образом, описанный выше метод сравнения толерантных множителей для проверки адекватности математической модели возмущенного движения ЛА имеет существенное преимущество перед традиционными методами. При принятии гипотезы статистической однородности результатов моделирования и натурного эксперимента требования к точностным характеристикам параметров считаются подтвержденными.