Условия однозначности для процессов теплопроводности

Число различных единичных явлений теплопроводности, описываемых дифференциальным уравнением (1.39), неограниченно велико, это уравнение имеет бесчисленное множество решений. Для выделения нужного решения при описании конкретного процесса необходимо уравнение (1.39) дополнить условиями однозначности.

Условия однозначности включают:

• Временные – определяют значения переменных в начальный и конечный моменты времени.

• Геометрические – характеризуют форму и размеры тела.

• Физические – задают зависимости теплофизических параметров, входящих в уравнение, и закон распределения внутренних источников теплоты.

• Граничные – характеризуют взаимодействие рассматриваемого тела с окружающей средой:

  • I рода – задано распределение температуры на поверхности тела (частный случай, когда ).

  • II рода – задано распределение плотности теплового потока на поверхности тела f .

  • III рода – задана температура окружающей среды и закон теплообмена между телом и окружающей средой.

Для описания процесса теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой используется закон Ньютона-Рихмана (гипотеза):

, (2.1)

где – коэффициент теплоотдачи, который не является теплофизическим параметром, а рассчитывается.

Коэффициент теплоотдачи характеризует интенсивность теплоотдачи между поверхностью и омывающей её жидкостью (газом).

 = Вт/(м²∙град).

Если в теле нет внутренних источников теплоты (), то изменение температуры во времени пропорционально изменению перепада температур в пространстве.

Дифференциальное уравнение и условия однозначности – единственный способ определения конкретной задачи.

1.3.1. Теплопроводность при стационарном тепловом режиме (граничные условия I рода) Плоская стенка,

Запишем условия однозначности:

1. Временные: .

2. Геометрические: , толщина стенки равна .

3. Физические: , стенка однородна.

4. Граничные – I рода: известны температуры на поверхностях стенки: и .

Рис. 2.1. Плоская однородная стенка.

Таким образом, уравнение теплопроводности принимает следующий вид:

. (2.2)

Решение:

; (2.3)

;

. (2.4)

При : ;

;

. (2.5)

При : ;

;

. 2.6)

Получаем:

. (2.7)

Таким образом, распределение температуры в плоской однородной стенке имеет вид:

. (2.8)

Найдем выражение для поверхностной плотности теплового потока:

; (2.9)

;

. (2.11)

Выражение – термическое сопротивление теплопроводности для однородной стенки:

. (2.12)

[R_] = (м∙град)/Вт .

Тепловой поток сквозь стенку:

. (2.13)

Иногда термическое сопротивление находят как: .

Количество теплоты, прошедшее через стенку за время τ, определяется как:

. (2.14)

Многослойная плоская стенка

Рис. 2.2. Многослойная стенка

Из (2.13) имеем:

. (2.15)

По закону сохранения энергии , т.к. стенка плоская .

; (2.16)

. (2.17)

Если сложить (2.15) – (2.17), получаем:

. (2.18)

В общем случае для стенки, состоящей из n слоёв, имеем:

. (2.19)

Распределение температур внутри слоя определяется по формуле (2.8), а на поверхности между слоями:

. (2.20)

Тепловой поток через многослойную стенку определяется как:

. (2.21)

Поверхностная плотность теплового потока через многослойную стенку:

. (2.22)

Термическое сопротивление теплопроводности многослойной стенки:

. (2.23)