2.4. Приближение пограничного слоя Система уравнений ламинарного пограничного слоя

Рассмотрим продольное стационарное обтекание плоской поверхности тела безграничным потоком жидкости при ламинарном режиме. Скорость и температура потока постоянны и равны соответственно w_ж и t_ж.

Рис. 14.1. Изменение скорости в гидродинамическом пограничном слое

Как было показано ранее, при омывании тела поток жидкости как бы разделяется на две части – пограничный слой и внешний поток.

Теория гидродинамического пограничного слоя впервые дана Л. Прандтлем (1904 г.).

Для течения жидкости внутри пограничного слоя справедливо условие , т.е. скорость меняется поперёк потока. Вне пограничного слоя и на его внешней границе и . Во внешнем потоке преобладают силы инерции, вязкостные силы здесь не проявляются. Напротив, в пограничном слое силы вязкости и инерционные силы соизмеримы. Из уравнения (5.21) для стационарного поля скоростей при омывании плоской пластины, бесконечной в направлении оси OZ, получим следующие уравнения движения ():

; (14.1)

. (14.2)

Из выражения (5.16) имеем уравнение сплошности для плоской задачи:

. (14.3)

Рассмотрим возможности упрощения системы уравнений (14.1) – (14.3) и наметим границы справедливости упрощённой записи.

Ввиду малости толщины пограничного слоя δ_г принимаем, что поперечное давление не изменяется: . При постоянстве скоростей во внешнем течении w_ж из уравнения Бернулли следует, что во внешнем потоке не изменяется и давление: , т.е. имеем безградиентное течение. Условия для пограничного слоя и для внешнего течения приводят к выводу, что производная в рассматриваемом случае равна нулю в области пограничного слоя.

Скорость w_x изменяется от 0 до w_ж, порядок величины оценим как w_ж. Для продольной координаты возьмём масштаб l, тогда:

, (14.4)

где – обозначение порядка данной величины.

Согласно уравнению сплошности порядок производных и одинаков, отсюда:

, (14.5)

где δ_г – порядок поперечной координаты y для пограничного слоя.

Порядок величины w_y при этом может быть оценён как:

. (14.6)

Оценим отдельные члены инерционной (конвективной) и вязкостной частей уравнения движения в проекциях на ось OX:

; (14.7)

; (14.8)

; (14.9)

. (14.10)

Из оценки следует, что порядок отдельных слагаемых инерционной части одинаков и равен . Отношение вязкостных членов даёт:

. (14.11)

Для пограничного слоя , отсюда и последней производной можно пренебречь. Тогда уравнение движения в проекциях на ось OX (14.1) может быть записано:

. (14.12)

Порядок левой части этого уравнения равен , а правой ― . Приравнивая левую и правую части, получаем:

, (14.13)

. (14.14)

Если , то и . В этом случае по сути дела нет разделения потока на две области, всё пространство жидкости у тела охвачено действием сил вязкости.

Если , то , т.е. у поверхности тела образуется сравнительно тонкий слой подторможенной жидкости, для которого в первом приближении справедливы сделанные нами упрощения.

Таким образом, теория пограничного слоя представляет собой метод упрощения математической формулировки краевой задачи и связанной с этим возможности решения.

Оценим порядок величин, входящих в уравнение движения в проекции на ось OY. Получим, учитывая уравнение (14.14), что для членов , и значение порядка , а для члена .

Таким образом, члены уравнения движения в проекциях на ось OY малы по сравнению с членами уравнения (14.1). Для пограничного слоя можно опустить уравнение (14.2). Тогда для плоского безградиентного стационарного течения вязкой жидкости в пограничном слое у плоской поверхности имеем:

; (14.15)

. (14.16)

Здесь две зависимые переменные w_x и w_y. Правую часть уравнения (14.15) можно записать в виде , где S – напряжение трения в плоскости, параллельной плоскости XZ.

Лекция 15

Упростим уравнение энергии (5.18) – (5.19) для плоской стационарной задачи конвективного теплообмена, рассмотрев тепловой пограничный слой (рисунок 5-3). Все изменения температуры сосредоточены в тонком слое, непосредственно прилегающем к поверхности тела. Внутри слоя , а на внешней границе и вне его ― и .

В общем случае . Будем полагать, что . Ввиду малости толщины δ_т можно пренебречь теплопроводностью вдоль оси слоя по сравнению с поперечным переносом теплоты, т.е. положить, что (, т.к. ).

Тогда для рассматриваемого случая уравнение энергии примет вид:

. (15.1)

Учитывая, что и, следовательно, , правую часть уравнения (15.1) можно представить в виде .

Система дифференциальных уравнений в ламинарном пограничном слое (14.15), (14.16), (15.1) получена для стационарного безградиентного омывания плоской поверхности жидкостью с постоянными физическими свойствами; в жидкости отсутствуют внутренние источники теплоты, выделение теплоты трения пренебрежимо мало. Заметим, что при принятых здесь условиях поле скоростей не зависит от поля температур.

Рис. 15.1. Гидродинамический и тепловой пограничные слои

при свободном движении

При свободном тепловом движении , в дифференциальном уравнении движения (14.15) должен быть учтён член . В этом случае поле скоростей неразрывно связано с полем температур (теплообменом).