Тройная аналогия

Для условий ; ; имеем:

; (23.14)

; (23.15)

. (23.16)

Поскольку , то:

. (23.17)

Уравнения (23.14) – (23.17) тождественны по переменным t, m_i и w_x. Если при этом имеется подобие граничных условий, то существует подобие температурных, концентрационных и скоростных полей – в этом и заключается тройная аналогия.

Диффузионное число подобия Стантона рассчитывается по аналогии с (23.11):

. (23.18)

При тройной аналогии:

, (23.19)

где с_f – безразмерный коэффициент трения.

, (23.20)

где – касательные напряжения трения на стенке.

Из (23.19) получают частные аналогии:

• ; – подобны скоростные и температурные поля;

• ; – подобны скоростные и концентрационные поля;

• ; – подобны температурные и концентрационные поля.

Из последнего выражения получим зависимость между α и β_m:

; (23.21)

; (23.22)

; (23.23)

. (23.24)

Лекция 1Д

Методы теплопроводности Ребристые поверхности (методы интенсификации теплообмена)

Известно, что:

. (1Д.1)

Рассмотрим метод увеличения теплового потока Q за счёт увеличения площади поверхности F.

Различают рёбра прямые, кольцевые и т.д. Они используются в ДВС, холодильных установках и в другом оборудовании. Для каждой установки определяется эффективное оребрение.

Рис. 1Д.1.Типы ребёр:

А – прямые ребра прямоугольного профиля, Б – кольцевые рёбра

Дифференциальное уравнение для прямого ребра

f (x)

Рис. 1Д.2. К выводу дифференциального уравнения для прямого ребра

Из рис. 1Д.2 видно, что:

f . (1Д.2)

Таким образом, f – половина толщины ребра.

Тепловой поток через ребро:

. (1Д.3)

Дифференцируя по x, получаем:

; (1Д.4)

. (1Д.5)

При стационарном процессе переданная теплота отдаётся в окружающую среду.

Считаем, что теплоотдача идёт через поверхности b'bcc' и a'add', а через вершину ребра abcd теплоотдачи нет (она мала).

; (1Д.6)

, (1Д.7)

где t_o – температура окружающей среды.

Суммируя (1Д.5) и (1Д.7), имеем:

. (1Д.8)

Из (1Д.8) получаем дифференциальное уравнение прямого ребра произвольного профиля:

. (1Д.9)

Прямое ребро прямоугольного профиля

Рис. 1Д.3. Прямое ребро прямоугольного профиля

Для прямого ребра прямоугольного профиля . Тогда (1Д.9) принимает вид:

; (1Д.10)

. (1Д.11)

Введём параметр m:

. (1Д.12)

Тогда (1Д.11) принимает вид:

. (1Д.13)

Полученное выражение – уравнение для прямого ребра прямоугольного профиля. Его общее решение имеет вид:

. (1Д.14)

Граничные условия: ; ;

; .

Решение получают в виде:

. (1Д.15)

Выражение (1Д.15) – распределение температуры в прямом ребре прямоугольного профиля.

Рабочей характеристикой ребра считают эффективность, определяемую как:

, (1Д.16)

где – тепловой поток, переданный ребром при текущей температуре t;

– тепловой поток, который передавался бы ребром, если бы вся поверхность ребра имела температуру основания.

Количество теплоты, которое передаётся ребром в окружающую среду:

. (1Д.17)

Подставив в (1Д.17) выражение для из (1Д.15) и проинтегрировав, получаем:

; (1Д.18)

. (1Д.19)

Тогда (1Д.16) с учётом (1Д.18) и (1Д.19) принимает вид:

. (1Д.20)

Выражение (1Д.20) – эффективность прямого ребра прямоугольного профиля. При этом . Если , температура поверхности всего ребра равна температуре его основания .

Если ; ;

; .

С уменьшением значение растёт. Так как , то для увеличения необходимо уменьшить l и увеличить λ и δ.