Термодинамическое подобие

В случае, когда хотим получить наилучшие результаты, необходимо использовать термодинамически подобные вещества. Принцип соответственных состояний предложил Ван-дер-Ваальс. В критической точке у веществ одинаковое соответственное состояние , , и т.д.

На одинаковом удалении от критической точки вещества должны находиться в соответственных состояниях. Степень удаления от критической точки определяют приведенные параметры – давление, температура и удельный объём:

; (16.10)

; (16.11)

. (16.12)

Вещества с одинаковыми называются термодинамически подобными. Принцип соответственных состояний используется для определения свойств одного вещества, термодинамически подобного с другим.

Теорема соответственных состояний:

Если у двух веществ равны два приведенных параметра, то и третий параметр для них имеет одинаковое значение.

Развитие принципа соответственных состояний привело к установлению признаков термодинамического подобия. Вещества:

• должны относиться к одинаковому типу химических соединений;

• иметь общий тип молекул (сферические, неполярные и т.д);

• иметь равные факторы сжимаемости в критической точке (, где Z – фактор сжимаемости, для неполярных молекул ).

В критической точке .

Подобные процессы должны осуществляться для термодинамически подобных веществ. Это серьезно ограничивает точное моделирование, поэтому используют приближенное моделирование. К приближенному моделированию относится и автомодельность относительно критерия. Определяемая величина автомодельна относительно числа подобия, если она не зависит от него. Тогда отпадает необходимость, чтобы , упрощаются дифференциальные уравнения.

Пример: распространение свободных струй не зависит от Re, можно не соблюдать .

Метод локального теплового моделирования

Подобие используется лишь в том месте, где изучают теплоотдачу. Например, при омывании средой пучка труб измерение можно производить для одной трубы. Остальные трубы служат только для придания модели формы, подобной образцу. Предполагается, что теплоотдача испытуемой трубы в основном зависит от характера омывания, определяемого расположением системы труб. Метод локального моделирования прост и иногда позволяет получить довольно точные результаты, но необоснованное применение может привести к значительным ошибкам.

Метод масштабных преобразований (приведение математической формулировки краевой задачи к безразмерному виду)

Постановка задачи

Поверхность твёрдого тела омывается несжимаемой жидкостью (), температура стенки больше температуры жидкости, вдали от стенки t_ж и w_ж постоянны, теплофизические свойства постоянны.

Возникает подъёмная сила из-за изменения плотности. Теплота трения не учитывается, процесс стационарный. Ось OX параллельна поверхности, ось OY – перпендикулярная ей, ось . При этом воздействует сила тяжести с ускорением .

Решение

При принятых допущениях можно использовать уравнения приближения пограничного слоя.

; (16.13)

; (16.14)

; (16.15)

. (16.16)

Рис. 16.1. К постановке краевой задачи КТО.

Если принять, что , то . Если , то из (16.13):

. (16.17)

Из (16.16) имеем:

. (16.18)

Граничные условия

При ; ; .

При ; ; .

В уравнениях и условиях однозначности можно выделить 3 вида величин:

• независимые переменные ();

• зависимые переменные () – однозначно определяются значениями независимых переменных, если заданы условия однозначности;

• постоянные величины () – задаются условиями однозначности и для каждой задачи они постоянны, не зависят от других переменных.

Искомыми величинами являются , они зависят от постоянных и независимых переменных.

Все эти величины можно сгруппировать в безразмерные комплексы. Число их будет меньше, чем число размерных величин.

Выберем масштабы приведения. В качестве их используют величины, входящие в условия однозначности: :

; (16.19)

; (16.20)

; (16.21)

; (16.22)

. (16.23)

Тогда:

; (16.24)

; (16.25)

; (16.26)

; (16.27)

. (16.28)

Подставим (16.24) – (16.28) в (16.13) – (16.17):

Для уравнения (16.17) имеем:

; (16.29)

; (16.30)

. (16.31)

Для уравнения (16.14) имеем:

. (16.32)

Умножим обе части уравнения (16.32) на :

. (16.33)

Отдельно рассмотрим:

. (16.34)

В итоге из (16.32) получаем:

. (16.35)

Для уравнения (16.15) имеем:

; (16.36)

. (16.37)

Для уравнения (16.18) имеем:

; (16.38)

; (16.39)

. (16.40)

Граничные условия с учётом (16.24) – (16.28) принимают вид:

при , ; , ;

;

при , ; , ;

.

Система уравнений (16.13) – (16.16) окончательно принимает вид:

(16.41)

Уравнения представляют собой систему безразмерных дифференциальных уравнений и безразмерных условий однозначности и являются математической формулировкой задачи в безразмерных переменных. Здесь независимые переменные X, Y; зависимые переменные Nu, Θ, W_x, W_y; постоянные Pe, Re, Gr – они также заданы условиями однозначности.

Для искомых величин:

(16.42)

(16.43)

(16.44)

. (16.45)

Уравнения (16.42) – (16.45) – это уравнения подобия (число подобия Нуссельта определяется только для стенки при X_c, Y_c).

Если в уравнение движения добавить член то можно получить число подобия Эйлера: . Для несжимаемой жидкости , где . Для сжимаемой жидкости и для газов используются абсолютные значения давления, а не разность, так как здесь уже плотность зависит от давления.

Кроме , могут присутствовать другие геометрические размеры, и тогда в уравнения подобия входят симплексы: ; и т.д.

Во всех случаях список безразмерных величин должен соответствовать математической формулировке задачи. Произвольное исключение или введение под знак функции новых величин недопустимо. Любая подобная операция должна быть обоснована.

Лекция 17