Система уравнений турбулентного пограничного слоя

Турбулентное течение существенно отличается от ламинарного. При ламинарном – любые явления могут быть однозначно описаны замкнутой системой дифференциальных уравнений и краевых условий. Задача значительно осложняется в случае турбулентного режима. Турбулентный поток характеризуется неупорядоченностью, которая приводит к случайному изменению во времени и в пространстве мгновенных значений скорости, температуры, давления, концентраций и т.д. Отдельные частицы (комочки) движутся в турбулентном потоке со своими скоростями, отличными по значению и направлению. Турбулентное течение, строго говоря, является нестационарным процессом, однако если осреднённые во времени величины (скорости, концентрации, температуры и т.д.) не изменяются, то такой процесс можно рассматривать как условно стационарный (квазистационарный). При этом интервал времени осреднения должен быть достаточно большим по сравнению с периодом пульсаций, но в то же время достаточно малым по сравнению с каким-либо характерным для осреднённого движения интервалом времени, чтобы учесть возможные изменения средних величин (скорости, температуры и т.д.) во времени. Дальше полагается, что средние значения актуальных величин w, t, m_i получены как среднеинтегральные. Полагают, что выведенные ранее дифференциальные уравнения конвективного теплообмена справедливы для отдельных струек пульсационного движения. Эти уравнения можно записать в осреднённых значениях величин, если произвести замену , , и т.д. (метод Рейнольдса). Здесь , , – осреднённые значения температуры, скорости, концентрации.

Произведя некоторые преобразования и выдвинув гипотезы, можно получить систему дифференциальных уравнений, описывающих в первом приближении осреднённое турбулентное течение и тепломассообмен. В достаточно строгой постановке этот вопрос до конца не разрешен.

Рассмотрим качественную сторону явлений переноса в турбулентном потоке. Вводится понятие длины пути смешения – . Аналогично простейшим представлениям о молекулярном движении объём жидкости как бы перемещается на расстояние , при этом вместе с массой жидкости переносится, в частности, энтальпия. Это условная аналогия между молекулярным и турбулентный переносом. Её достоинство – в наглядности. На длине пульсация не распадается. Можно говорить о вероятностном (статистическом) значении .

Использовав свойства среднеинтегрального осреднения и проанализировав турбулентный перенос теплоты и количества движения, в предположении, что осреднённые значения скорости и температуры изменяются только в направлении OY (рис. 5.2 и 5.3), получают, что плотность теплового потока при турбулентном переносе пропорциональна , а напряжение трения пропорционально :

; (15.2)

, (15.3)

где и – коэффициенты турбулентного переноса теплоты и количества движения;

, – кинематические коэффициенты турбулентного переноса теплоты и количества движения.

Размерности λ_т, μ_т, ε_q, ε_s соответствуют размерностям аналогичных коэффициентов λ, μ, a, , учитывающих молекулярный перенос теплоты и количества движения.

Коэффициенты λ_т и μ_т не являются физическими параметрами среды. Они зависят, как это следует из уравнений (15.2), от параметров процесса и, следовательно, могут изменяться в рассматриваемом пространстве.

Теплота и количество движения в направлении оси ОY (рис. 5.2 и 5.3) переносятся также и молекулярным механизмом. Поэтому:

; (15.4)

, (15.5)

Сплошная твёрдая стенка непроницаема для поперечных пульсаций ; следовательно, при будет . Отсюда следует, что непосредственно на стенке и . Вдали от стенки коэффициенты турбулентного переноса и , можно полагать , .

При конвективном теплообмене для турбулентного пограничного слоя на пластине (с учётом ряда ограничений) уравнение энергии, движения, и сплошности могут быть записаны в следующем виде (уравнения типа Рейнольдса):

; (15.6)

; (15.7)

. (15.8)

В уравнениях (15.6) – (15.8) учтено, что турбулентный перенос в направлении оси OX много меньше турбулентного переноса в направлении оси OY, т.к. и , где l – длина пластин.

Полагают, что μ_т и λ_т зависят от тех же факторов (переменных), от которых зависят поля осреднённых величин (скорости и температуры). Для замыкания системы дифференциальных уравнений необходимо добавить уравнения, характеризующие связь μ_т и λ_т с этими переменными.

Предложено много способов, позволяющих в первом приближении замкнуть систему дифференциальных уравнений для турбулентного течения. Простейшими являются формулы, предложенные Л. Прандтлем, в которых :

; (15.9)

, (15.10)

где l₁ – масштаб турбулентности, он пропорционален .

Полагают, что l₁ характеризует внутреннюю геометрическую структуру турбулентного потока, некоторый средний размер турбулентно перемещающихся масс жидкости.

В пристенной области турбулентного течения масштаб турбулентности (как и турбулентный перенос количества движения и теплоты) должен уменьшаться по мере приближения к стенке из-за воздействия последней.

Согласно Л. Прандтлю:

. (15.11)

Измерения и расчёты показывают, что в пристенной области турбулентного течения (но в области, где молекулярным трением можно пренебречь) безразмерную величину можно считать равной 0,4.

Таким образом, в первом приближении задачи замкнута, значения ε_s и ε_q (или μ_т и λ_т) определены. Из сравнения формул (15.2), (15.3), (15.9), (15.10) получаем:

. (15.12)

Формула (15.12) показывает, что существует аналогия между переносом количества движения и переносом теплоты. Формальная аналогия, следующая из (15.12), отражает концепцию, согласно которой одни и те же объёмы жидкости, участвуя в пульсационном движении, переносят одновременно количество движения и теплоту и не взаимодействуют на пути с окружающей средой. На самом деле при переносе, например, теплоты может происходить теплообмен. Пульсационный перенос количества движения может быть связан с диссипацией механической энергии из-за вязкости жидкости. Всё это заставляет вносить коррективы в ранее описанную теорию, в частности, вводить для описания переноса количества движения и теплоты различные значения l₁.

Для углубления знаний в области турбулентного переноса вещества можно воспользоваться источниками [6 – 9].

Несмотря на определенную незавершённость описанной здесь теории, она может дать приемлемые для практики результаты.

В тех случаях, когда нельзя получить приближённое теоретическое решение, используют теорию подобия и метод размерностей для получения уравнений безразмерного вида. В результате же экспериментальных исследований определяют количественную связь между числами подобия, входящими в эти уравнения.

Лекция 16