1.2. Теплопроводность. Закон Фурье

Все экспериментальные и теоретические исследования теплопроводности основаны на законе Фурье:

; (1.7)

или

. (1.8)

Элементарное количество теплоты, переданное через элементарную площадку за бесконечно малый промежуток времени пропорционально градиенту температуры.

Для теплового потока:

. (1.9)

Для плотности теплового потока:

. (1.10)

Коэффициент пропорциональности λ – физическая величина, характеризующая способность тела проводить теплоту, называется коэффициентом теплопроводности.

= Вт/(м∙град).

Численно значение коэффициента теплопроводности равно количеству теплоты, переданной через единицу поверхности в единицу времени при градиенте температур равном единице.

Коэффициент теплопроводности λ зависит от:

• природы среды (тела);

• структуры среды (тела);

• плотности;

• влажности;

• давления;

• температуры.

При скрупулёзных исследованиях λ определяется экспериментально.

В технических расчётах, когда температура t изменяется от точки к точке, важно учитывать зависимость λ от t. Эта зависимость – линейная:

, (1.11)

где – значение λ при ;

b – экспериментально установленный коэффициент,.

Пределы и характер изменения коэффициента теплопроводности

Вещество	Пределы изменения λ при ºС, Вт/(м∙град)	Изменение λ с ростом температуры
Газы	0,005―0,5	возрастает
Жидкости	0,08―0,7	уменьшается (кроме воды и глицерина)
Теплоизоляционные и строительные материалы	0,02―3,0	возрастает
Металлы	20―410	возрастает (сплавы), уменьшается (чистые металлы)

На объектах промышленной теплоэнергетики используют теплоизоляционные материалы, у которых 0,2 ВТ/(м∙град).

1.3. Дифференциальное уравнение теплопроводности и его решения

Для рассмотрения выберем элементарный объём dv и элементарный промежуток времени dτ. С математической точки зрения – это бесконечно малые величины, но с физической точки зрения – достаточно большие, что в их пределах можно игнорировать дискретным строением среды.

При выводе уравнения воспользуемся следующими допущениями:

• тело однородно и изотропно;

• физические параметры постоянны;

• деформации рассматриваемого объёма с изменением температуры малы по сравнению с самим объёмом;

• внутренние источники теплоты в теле, которые в общем виде могут быть заданы как f , распределены равномерно.

Закон сохранения энергии для элементарного объёма dv имеет вид:

, (1.12)

где – количество теплоты, введённое в элементарный объём dv путём теплопроводности за время dτ;

– количество теплоты, которое выделилось за счёт внутренних источников за время dτ;

– изменение внутренней энергии или энтальпии вещества в элементарном объёме dv за время dτ.

Рис. 1.3. К выводу дифференциального уравнения теплопроводности

1. Определим .

Ось X – получено: , отдано: , осталось: .

Функцию разложим в ряд Тейлора:

(1.13)

Возьмём два первых члена разложения и подставим в выражение для :

. (1.14)

Аналогично находят выражения и по другим осям.

; (1.15)

. (1.16)

Таким образом, получаем:

. (1.17)

2. Определим .

Пусть – мощность внутренних источников теплоты, т.е. количество теплоты, выделяемое внутренними источниками в единице объёма среды в единицу времени.

[q_v] = Вт/м³.

Получаем:

. (1.18)

3. Определим .

Результат зависит от характера термодинамического процесса.

• Изохорный процесс

, (1.19)

где f – внутренняя энергия тела.

, (1.20)

где – изохорная теплоёмкость единицы объёма, Дж/(м³∙К);

– изохорная теплоёмкость единицы массы, Дж/кг∙К;

– плотность, кг/м³.

Между приведёнными выше величинами существует соотношение:

. (1.21)

Подставим значения в общее уравнение:

; (1.22)

(1.23)

В итоге имеем:

. (1.24)

Полученное выражение – дифференциальное уравнение энергии для изохорного процесса переноса теплоты.

• Изобарный процесс

, (1.25)

где f – энтальпия тела.

, (1.26)

где – изобарная теплоёмкость единицы объёма, Дж/м³∙К;

– изохорная теплоёмкость единицы массы, Дж/кг∙К.

Заметим, что:

. (1.27)

Тогда после замены получаем:

. (1.28)

Подставим значения в общее уравнение:

; (1.29)

(1.30)

В итоге имеем:

. (1.31)

Полученное выражение – дифференциальное уравнение энергии для изобарного процесса переноса теплоты.

В твёрдых телах перенос теплоты осуществляется в соответствии с законом Фурье, при этом . Примем, что .

Проекция вектора плотности теплового потока на соответствующие оси:

; (1.32)

; (1.33)

. (1.34)

После подстановки в дифференциальное уравнение энергии для переноса теплоты получаем:

; (1.35)

. (1.36)

Полученное выражение – общее уравнение теплопроводности.

Считаем, что теплоёмкость с, плотность и коэффициент теплопроводности – постоянные величины.

. (1.37)

Тогда:

. (1.38)

Окончательно:

, (1.39)

где – коэффициент температуропроводности, м²/с.

Коэффициент температуропроводности a характеризует скорость выравнивания температур в неравномерно нагретом теле при нестационарном режиме. Он зависит от природы вещества и у жидкостей и газов он меньше, чем у твёрдых тел.

Возможны следующие частные случаи общего уравнения теплопроводности:

Поле температур	Есть внутренние источники теплоты,	Нет внутренних источников теплоты,
Нестационарное	общее уравнение теплопроводности	уравнение Фурье
Стационарное	уравнение Пуассона	уравнение Лапласа

Лекция 2