5. Движение материальной точки и системы точек в неинерциальных системах отсчёта. Силы инерции. Примеры решения задач.

З адача 1. Какой угол с горизонтом составляет поверхность бензина в баке автомобиля, движущегося горизонтально с ускорением м/с²?

Р ешение.

В неинерциальных системах отсчёта (НИСО) второй закон Ньютона не выполняется. Запишем уравнение движения бензина в баке в НИСО

,

где . В проекции на ось х: . В проекции на ось у: .

Отсюда

Следовательно

.

Ответ: .

Задача 2. Железнодорожный вагон тормозится и его скорость равномерно изменяется за время с от км/ч до км/ч. При каком предельном значении коэффициента трения между чемоданом и полкой чемодан при торможении начнёт скользить по полке?

Р ешение.

П о условию вид движения равнозамедленный. Ускорение найдём из уравнения скорости при равнозамедленном движении:

м/с ².

Решаем задачу в неинерциальной системе отсчёта. Запишем уравнение движения тела по оси х в скалярной форме с учётом определения силы трения:

Ответ: при чемодан начнёт скользить по полке.

З адача 3 . На вертикальной оси электродвигателя укреплён отвес – маленький шарик на нити длиной см. При медленном вращении двигателя нить остаётся вертикальной, а при быстром вращении шарик движется как конический маятник. При какой частоте вращения двигателя нить начнёт отклоняться от вертикали? Чему равен угол её отклонения при частоте вращения с^-1?

Р ешение.

Р ассмотрим движение конического маятника (см.рис. 5.3). Центростремительное ускорение ему придаёт равнодействующая сил натяжения нити Т и силы тяжести mg: ma = mg + T. Из параллелограмма сил получаем . Если равнодействующая сил недостаточно велика, чтобы сообщить шарику необходимое центростремительное ускорение, он будет двигаться по расширяющейся спирали (это произойдёт, например, при увеличении частоты вращения). Если же равнодействующая «чрезмерно» велика, шарик будет двигаться по сужающейся спирали (например, при уменьшении частоты вращения).

Учитывая, что и , приходим к уравнению относительно :

По крайней мере одно решение ( ) это уравнение имеет при всех v. Второе решение появляется при , т.е. при с^-1.

Какой смысл следует приписать наличию двух решений при достаточно быстром вращении ( )? Они оба соответствуют состояниям равновесия (в том смысле, что значения остаются неизменными). Что же произойдет, если нить случайно отклонится на малый угол ? Для ответа на этот вопрос удобнее всего перейти во вращающуюся (неинерциальную) систему отсчёта. В ней возникнет сила инерции , направленная от оси вращения и возвращающая сила (равнодействующая сил T и mg), равная по величине . Поскольку при малых углах , отношение этих сил

При это отношение больше 1, т.е. . Это означает, что случайно возникшее малое отклонение будет нарастать и угол увеличится до . Таким образом равновесие при является неустойчивым. При желании можно проверить, что второе положения равновесия будет устойчивым. Итак при угол . При угол (реальная система не будет сколько-нибудь долго находиться в состоянии неустойчивого равновесия). При с^-1 получаем .

Ответ: с^-1, .

З адача 4. Плоскую жёсткую спираль из гладкой проволоки, расположенную в горизонтальной плоскости, вращают с постоянной угловой скоростью вокруг неподвижной вертикальной оси О (см.рис. 5.4). По спирали скользит небольшая муфта М. Найти её скорость относительно спирали как функцию расстояния от оси вращения О, если муфта начала двигаться от этой оси со скоростью .

Р ешение.

Этот вопрос наиболее целесообразно решать в системе отсчёта, связанной со спиралью. Известно, что приращение кинетической энергии тела должно быть равно алгебраической сумме работ всех сил, действующих на тело. В нашем случае из всех сил работу будет совершать только центробежная сила инерции. Все остальные силы – сила тяжести, сила реакции со стороны спирали и сила Кориолиса – перпендикулярны скорости муфты, поэтому работы не совершают. Тогда

,

где m- масса муфты, dr - её элементарное перемещение относительно спирали. Так как скалярное произведение , то интеграл оказывается равным . Отсюда искомая скорость

.

Ответ: .