4. Закон сохранения момента импульса. Гироскопы. Гироскопические силы. Примеры решения задач.

Задача 1. На скамье Жуковского стоит человек и держит в руке велосипедное колесо, вращающееся вокруг своей оси с угловой скоростью =15 с^-1. Ось колеса расположена вертикально и совпадает с осью скамьи Жуковского. С какой скоростью  начнёт вращаться скамья, если повернуть колесо вокруг горизонтальной оси на 180⁰? На 90⁰? Момент инерции человека и скамьи J = 3 кг·м², момент инерции колеса относительно своей оси J₀ = 0,5 кг·м² (см.рис. 4.1).

Решение Систему тел можно считать изолированной, поэтому выполняется закон сохранения момента импульса

= J₂ ,

где – момент импульса тел системы в первом положении колеса; – момент импульса тел системы при втором положении колеса.

Момент импульса – величина векторная, будем рассматривать проекции на ось вращения скамьи. Момент импульса системы до поворота колеса равен только моменту импульса колеса, т.е.

= .

После поворота колеса момент импульса системы складывается из момента импульса скамьи с человеком и момента импульса колеса. Момент импульса колеса при повороте вокруг горизонтальной оси изменит знак на обратный, поэтому

.

Согласно закону сохранения момента импульса

При повороте колеса на 90⁰ проекция момента импульса на ось вращения скамьи равна нулю, поэтому

Ответ:

Задача 2. Какую работу совершает человек при переходе от края платформы к её центру в условиях когда масса платформы 100 кг, вращающейся с частотой 10 об/мин. Человек массой 60 кг стоит на краю платформы. Радиус платформы равен 1,5м.

Р ешение.

Работу исходя из определения, найдём как:

,

где ; ; ; . Частоту вращения после перехода человека в центр платформы, найдём из закона сохранения момента импульса: . После подстановки известных значений и преобразований, получим:

Тогда работа, совершаемая человеком, будет равна:

Ответ: А = 162 Дж.

Задача 3. Платформа, имеющая форму диска, может вращаться около вертикальной оси. На краю платформы стоит человек. 1).На какой угол  повернётся платформа, если человек пойдёт вдоль края платформы и, обойдя его, вернётся в исходную точку? Масса платформы кг, масса человека кг. Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки. 2).С какой угловой скоростью начнёт вращаться платформа, если её радиус 1 м, а скорость человека 2 м/с. 3).На сколько изменится кинетическая энергия платформы, если человек пойдёт вдоль края платформы?

Р ешение.

1).Запишем закон сохранения момента импульса:

Т.к. скорость платформы первоначально была равна нулю, то момент импульса создавал только человек, а после того как он обойдёт платформу будем учитывать суммарный момент импульса человека и платформы. Тогда закон сохранения момента импульса примет вид:

Выразив угловую скорость через угол поворота , можем после преобразований записать: .

2).Запишем закон сохранения момента импульса: , где суммарный момент инерции человека и скамьи: , а момент инерции человека . Угловую скорость человека выразим через линейную, используя формулу связи: . Тогда закон сохранения момента импульса примет вид: . Откуда

рад/с.

3).В общем случае изменение кинетической энергии будет равно: , где момент инерции человека , а угловую скорость человека выразим через линейную: рад/с. После начала движения человека момент инерции будет учитывать и инерцию начавшей движение платформы: , а угловую скорость найдём из закона сохранения момента импульса: или применительно к условию задачи:

рад/с.

Тогда . Подставляя значения, получим:

Дж.

Ответ: ; рад/с; Дж.

З адача 4. Доказать, что полная механическая энергия планеты, движущейся вокруг Солнца по эллипсу, зависит только от его большой полуоси а. Найти выражение для величины W энергии, если известны масса m планеты и M Солнца, а также большая полуось а эллипса.

Р ешение.

Воспользуемся законами сохранения момента импульса и энергии. Точка, относительно которой момент импульса планеты сохраняется, - это центр Солнца. Поэтому для положений 1 и 2 планеты (см.рис. 4.2), в которых вектор скорости перпендикулярен радиусу вектору, можно записать

(1)

Из закона сохранения полной энергии следует, что для тех же положений планеты

(2)

Решив совместно уравнения (1) и (2), выразим, например, через и

И, наконец, находим формулу для полной энергии как

.

Учитывая, что , получим окончательно

Ответ: .