8. Кинематика теории относительности. Преобразования Лоренца. Примеры решения задач.

Задача 1. Кинетическая энергия электрона равна 1 МэВ. Определить скорость электрона.

Решение.

Частица называется релятивистской, если скорость частицы сравнима со скоростью света, и классической, если << c. Чтобы определить, какой является частица, достаточно сравнить её кинетическую энергию с энергией покоя.

Энергия покоя электрона 9,1·10^-31(3·10⁸)² = 8,2·10^-14 Дж = 0,511 МэВ – частица релятивистская, так как

Релятивистская формула кинетической энергии

(1)

откуда находим .

Для простоты преобразований найдём то есть скорость частицы, выраженную в долях скорости света.

Величину подставим в формулу (1).

Выполнив преобразования, получим

Числовой расчёт удобнее вести, выразив энергию в мегаэлектронвольтах (МэВ):

Так как , то = 0,941· 3·10⁸ = 2,82·10⁸ .

Ответ: = 2,82·10⁸ .

Задача 2. На сколько процентов изменится продольный размер протона и электрона после прохождения ими разности потенциалов U = 10⁶ В?

Решение.

Заряд протона и электрона имеет одинаковые числовые значения, поэтому они после прохождения разности потенциалов U приобретает одинаковую кинетическую энергию, равную работе электрического поля:

W_е = qU = 1,6· · = 1,6· Дж = 1 МэВ.

Продольный размер тела

,

где – длина в системе, неподвижной относительно тела; l – длина тела, движущегося со скоростью .

Относительное изменение продольного размера

Из релятивистской формулы кинетической энергии найдём значение :

qU,

откуда

Тогда

Для электрона c² = 0,511 МэВ; для протона c² = 939 МэВ.

Подставив числовые данные, получим для электрона

Для протона

Ответ: для электрона и для протона.

Задача 3. Два ускорителя выбрасывают частицы навстречу друг другу со скоростями 0,9с. Определить относительную скорость сближения частиц.

Р ешение.

Для решения воспользуемся законом сложения скоростей в релятивисткой механике:

Из условия . Тогда: .

Ответ: .

Задача 4. Во сколько раз масса протона больше массы электрона, если обе частицы имеют одинаковую кинетическую энергию 1000 МэВ.

Р ешение.

Из формулы определения массы движущейся частицы в релятивисткой механике выразим отношение масс: . Подставив полученное выражении в формулу кинетической энергии, получим связь массы движущейся частицы с энергией: . Энергии покоя электрона и протона величины постоянные и равны:

МэВ и МэВ.

Тогда массы электрона и протона соответственно находим как: кг и кг. А их отношение равно:

Ответ: .

Задача 5. Мю – мезон, рождающийся в верхних слоях атмосферы, пролетает до распада 6000м. Определить с какой скоростью летит мю – мезон, если его собственное время жизни 2,2 ^. 10 ^–6 с.

Р ешение.

Скорость определим из уравнения пути при равномерном движении: , где время определим по формуле длительности событий в инерциальных системах отсчёта: . Тогда можем записать:

Откуда искомая скорость

Ответ: .

Задача 6. Частица с массой покоя начала двигаться под действием постоянной силы F. Найти зависимость скорости частицы от времени.

Р ешение.

Запишем основное уравнение динамики движения в релятивисткой механике в виде:

Проинтегрировав это выражение с учётом того, что в начальный момент , получим . Отсюда

_.

С равним полученное выражение с ньютоновским. Согласно второго закона Ньютона, и скорость , поэтому предыдущее выражение для скорости можно представить так:

Отсюда видно, что , т.е. действительная скорость частицы растёт со временем медленнее, чем причём при скорость (см.рис. 8.1).

Интересно, что импульс частицы при этом будет расти линейно со временем: из уравнения . В этом характерная особенность релятивисткого движения: в то время как скорость частицы стремится к определённому пределу (т.е. практически устанавливается), импульс частицы продолжает расти.