2. Закон сохранения импульса. Теорема о движении центра масс. Движение тел с переменной массой. Примеры решения задач

Задача 1. В лодке массой кг стоит человек массой кг. Лодка плывёт со скоростью м/с. Человек прыгает из лодки в горизонтальном направлении со скоростью м/с (относительно лодки). Найти скорость движения лодки после прыжка человека: а) вперёд по движению лодки; б) в сторону, противоположную движению лодки.

Р ешение.

а) Запишем закон сохранения импульса тела применительно к условию задачи:

Выражая значение скорости лодки после прыжка человека, производим вычисления:

б) Скорость лодки найдём, из закона сохранения импульса тела, записанного применительно к условию данной задачи:

После подстановки исходных данных, произведём вычисления:

м/с.

Ответ: ; м/с.

Задача 2. Абсолютно упругий шар массой кг сталкивается с покоящимся упругим шаром большей массы . В результате прямого удара шар потерял 36% своей кинетической энергии. Определить массу большего шара.

Р ешение.

Запишем закон сохранения энергии применительно к условию данной задачи: , где скорости шаров после удара определяются как: и . Согласно условия можем записать:

Тогда после подстановки и преобразований получим:

Ответ:

Задача 3. Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подвешенный на лёгком жёстком стержне, и застревает в нём. Масса пули в 1000раз меньше массы шара. Расстояние от точки подвеса стержня до центра шара равно 1 м. Найти скорость пули, если известно, что стержень с шаром отклонился от удара пули на угол 10 ⁰.

Р ешение.

Скорость пули найдём из закона сохранения импульса тела, записанного для неупругого удара применительно к условию задачи: .

Откуда: . Скорость тел после попадания пули определим из закона сохранения энергии:

,

где из рисунка видно, что: . Тогда и скорость пули: .

Ответ: .

Задача 4. Деревянный шарик падает вертикально вниз с высоты 2 м без начальной скорости. Коэффициент восстановления при ударе шарика о пол считать равным 0,5. Найти: а) высоту, на которую поднимается шарик после удара о пол; б) количество тепла, которое выделиться при этом ударе. Масса шарика 100 г.

Р ешение.

Падая с высоты , шарик падает на пол со скоростью ₁, а отскакивает вверх со скоростью ₂.

По определению коэффициент восстановления .

По закону сохранения энергии и . Откуда

м.

Количество тепла, выделившегося при ударе шарика о пол, равно разности кинетических энергий тела до удара и после удара:

Дж.

Ответ: м; Дж.

Задача 5. Ракета движется в инерциальной К-системе отсчёта в отсутствие внешнего поля, причём так, что газовая струя вылетает с постоянной скоростью u относительно ракеты. Найти зависимость скорости ракеты от её массы m, если в момент старта её масса равна .

Решение.

В данном случае . Тогда из основного уравнения динамики точки переменной массы (уравнения Мещерского) ( где u - скорость присоединяемого или отделяемого вещества относительно рассматриваемого тела), получим:

Проинтегрировав это выражение, с учётом начальных условий, получаем:

(1)

Знак минус показывает, что вектор (скорость ракеты) противоположен по направлению вектору u. Отсюда видно, что скорость ракеты в данном случае ( ) не зависит от времени сгорания топлива: определяется только отношением начальной массы ракеты к оставшейся массе m.

Заметим, что если бы вся масса горючего была одновременно выброшена со скоростью относительно ракеты, то скорость последней оказалась бы иной. Действительно, если ракета вначале покоилась в выбранной ИСО, а после одновременного выброса всего горючего приобрела скорость , то из закона сохранения импульса следует

,

где - скорость горючего относительно данной системы отсчёта. Отсюда

(2)

Скорость ракеты в этом случае оказывается меньше, чем в предыдущем (при одинаковых значениях отношения ). В этом нетрудно убедиться, сравнив характер зависимости от в обоих случаях. С ростом в первом случае (когда вещество отделяется непрерывно) скорость ракеты, согласно (1), растёт неограниченно, во втором же (когда вещество отделяется одновременно) скорость , согласно (2) стремится к пределу, равному .

Ответ: .