7. Напряжения и деформации в твёрдом теле. Энергия упругих деформаций. Примеры решения задач.

Задача 1. Акробат прыгает в сетку с высоты м. На какой предельной высоте h над полом надо натянуть сетку, чтобы акробат не ударился о пол при прыжке? Известно, что сетка прогибается на м, если акробат прыгает на неё с высоты м.

Р ешение.

По закону сохранения энергии потенциальная энергия должна перейти в энергию упругого взаимодействия

Делив первое уравнение на второе, получим:

Решим данное квадратное уравнение:

м.

Второе значение высоты противоречит условию.

Ответ: .

Задача 2. Верхний конец стального стержня закреплён неподвижно, к нижнему подвешен груз массой кг. Длина стержня м, сечение см². Определить: 1) нормальное напряжение материала стержня; 2) абсолютное и относительное удлинение стержня; 3) Потенциальную энергию W растянутого стержня.

Р ешение.

По определению нормальное напряжение

,

где . Тогда

Н/м².

Абсолютное удлинение найдём, воспользовавшись законом Гука

м,

где модуль упругости (модуль Юнга) для стали Н/мм².

Относительное удлинение стержня по определению

Потенциальная энергия растянутого стержня может быть найдена как

Дж.

Ответ: Н/м²; м; ; Дж.

Задача 3. Тонкий однородный упругий шнур массы m и длины (в нерастянутом состоянии) имеет коэффициент упругости k. Склеив торцы, шнур положили на гладкую горизонтальную плоскость, придали ему форму окружности и раскрутили до угловой скорости вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр.

Р ешение.

Мысленно выделим малый элемент шнура массы , как показано на рисунке а. Этот элемент движется по окружности под действием силы, представляющей собой геометрическую сумму двух векторов, каждый из которых равен по модулю искомой силе натяжения Т (рис.б). Поэтому согласно основному уравнению динамики,

(1)

Учтём, что и , l - длина шнура во вращающемся состоянии. Тогда (1) примет вид

(2)

С другой стороны по закону Гука

. (3)

Исключив l из (2) и (3), получим:

.

Заметим, что в случае нерастяжимого шнура ( ) .

Задача 4. Какого диаметра нужно взять круглый стальной стержень, чтобы при нагрузке Н в нём возникло напряжение Н/мм². Каково при этом абсолютное удлинение стержня , если начальная длина м? Модуль упругости (модуль Юнга) для стали Н/мм².

Р ешение.

Исходя из определения, напряжение в стержне

,

где площадь поперечного сечения . Тогда после подстановки, сможем определить диаметр стержня

м.

Для определения абсолютного удлинения воспользуемся одной из форм записи закона Гука.

м.

Ответ: м; м.

Варианты.

1. В пружинном ружье пружина сжата на см. При взводе ее сжали еще на см. С какой скоростью вылетит из ­ружья стрела массой г, если жесткость пружины Н/м.

2. Две пружины жесткостью Н/м и Н/м скреплены параллельно. Определить потенциальную энергию данной системы при абсолютной деформации см

3. Пружину жесткостью Н/м растянули на см. Уменьшая приложенную силу, пружине да­ют возможность вернуться в первоначальное состояние­(нерастянутое) . Затем сжимают пружину на см. Определить работу А, совершенную при этом внешней силой.

4. Гиря, положенная на верхний конец спиральной пружины, сжимает ее на мм. На сколько сожмет пру­жину та же гиря, упавшая на конец пружины с высоты, см?

5. Проволока длиной м и диаметром мм натянута практически горизонтально. Когда к середине проволоки под­весили груз массой кг, проволока растянулась настолько, что точка подвеса опустилась на см. Определить модуль Юнга Е материала проволоки.

6. Верхний конец свинцовой проволоки диаметром см и длиной м закреплен неподвижно. К нижнему концу под­вешен груз массой кг. Найти напряжение материала у нижнего конца, на середине длины и у верхнего конца проволоки.

7. Определите относительное удлинение алюминиевого стержня, если при его растяжении затрачена работа Дж. Длина стержня м, площадь поперечного сечения мм², модуль Юнга для алюминия ГПа.

8. Резиновый шнур длиной 40 см и внутренним диаметром 8 мм натянут так, что удлинился на 8 см. Принимая коэффициент Пуассона для резины , определите внутренний диаметр натянутого шнура.

9. Клеем БФ можно склеивать металлы. Предел прочности клеевого шва для стали при растяжении равен Н/мм². Каков максимальный вес груза, подвешиваемого к склеенному вертикальному стержню, если диаметр стержня 20 мм? Запас прочности стержня должен быть .

10. Каков запас прочности тросов , на которых подвешена кабина лифта, если общее сечение тросов мм², а масса кабины с пассажирами кг? Предел прочности стали, из которой изготовлены тросы, Н/мм².

11. Два вагона (масса каждого т) движутся навстречу друг другу со скоростью м/с и сталкиваются между собой. Определите сжатие буферов вагонов, если известно, что сила пропорциональна деформации, и под действием силы кН пружина сжимается на см.

12. Медная проволока сечением мм² под действием растягивающей силы удлинилась на столько, на сколько она удлиняется при нагревании на 30 К. Принимая для меди модуль Юнга ГПа и коэффициент линейного расширения К^-1, определите числовое значение этой силы.

13. К нижнему концу пружины жёсткостью присоединена другая пружина жёсткостью , к концу которой прикреплена гиря. Пренебрегая массой пружин, определите отношение потенциальных энергий пружин.

14. Мальчик, стреляя из рогатки, натянул резиновый шнур так, что его длина стала больше на см. С какой скоростью полетел камень массой г? Жёсткость шнура кН/м.

15. С какой скоростью двигался вагон массой т, если при ударе о стенку каждый буфер сжался на см? Жёсткость пружины каждого буфера МН/м.

16. Найти наибольший прогиб h рессоры от груза массой m, положенного на его середину, если статический прогиб рессоры от того же груза см. Каким будет наибольший прогиб, если тот же груз падает на середину рессоры с высоты м без начальной скорости?

17. Найти работу А, которую надо совершить, чтобы сжать пружину на см, если известно, что сила F пропорциональна сжатию и жёсткость пружины кН/м.

18. Определить потенциальную энергию стержня, закруч­eнного на угол . Постоянная кручения Н^.м/рад.

19. Напряжение в круглом стальном стержне при нагрузке кН равно Н/мм². Каково будет напряжение при нагрузке кН?

20. Гиря массой кг падает с высоты м на подставку, скреплённую с пружиной жёсткостью Н/см. Определите при этом смещение х пружины.