Варианты.

1. Снаряд массой кг обладал скоростью м/с в верхней точке траектории. В этой точке он разорвался на две части. Меньшая, массой кг получила скорость м/с. С какой скоростью и в каком направлении полетит большая часть снаряда, если меньшая полетела вперёд под углом к горизонту.

2. Пластмассовый шарик, падая с высоты м несколько раз отскакивает от пола. Найти коэффициент восстановления при ударе шарика о пол, если с момента падения до второго удара о пол прошло время с.

3. Молекула массой 510^-26 кг, летящая со скоростью 500 м /с, ударяется о стенку сосуда под углом 60⁰ к поверхности и упруго отскакивает от неё под тем же углом. Найти импульс силы, полученный стенкой при ударе.

4. Шар, двигавшийся горизонтально, столкнулся с неподвижным шаром и передал ему 64% своей кинетической энергии. Шары абсолютно упругие, удар прямой, центральный. Во сколько раз масса второго шара больше массы первого?

5. Метеорит и ракета движутся под углом 90 ⁰ друг к другу. Ракета попадает в метеорит и застревает в нём. Масса метеорита т, масса ракеты , скорость метеорита , скорость ракеты . Определить импульс метеорита и ракеты после соударения.

6. Ракета, масса которой без заряда 400г, при сгорании 50 г топлива поднимается на высоту 125 м. Определить скорость выхода газов из ракеты, считая, что сгорание топлива происходит мгновенно.

7. Два тела движутся навстречу друг другу и соударяются неупруго. Скорости тел до удара были м/с и м/с. Общая скорость тел после удара 1 м/с и по направлению совпадает с направлением скорости . Во сколько раз кинетическая энергия первого тела была больше кинетической энергии второго тела?

8. Два шара подвешены на параллельных нитях одинаковой длины так, что они соприкасаются. Масса первого шара 0,2 кг, масса второго 0,1 кг. Первый шар отклоняют так, что его центр тяжести поднимается на высоту 4,5 см и отпускают. На какую высоту поднимутся шары после соударения, если: а) удар неупругий; 2) удар упругий.

9. Движущееся тело массой ударяется о неподвижное тело массой . Считая удар упругим и центральным, найти, какую часть своей первоначальной кинетической энергии первое тело передаёт второму при ударе. Рассмотреть случаи: а) ; б) .

10. Нейтрон (масса ) ударяется о неподвижное ядро: а)атома углерода ( ); б) атома урана . Считая удар центральным и упругим, найти, какую часть своей скорости потеряет нейтрон при ударе.

11. Человек массой 60 кг, бегущий со скоростью 8 км/ч, догоняет тележку массой 80 кг, движущуюся со скоростью 2,9 км/ч и вскакивает на неё. 1) С какой скоростью станет двигаться тележка? 2) С какой скоростью будет двигаться тележка, если человек бежал ей навстречу.

12. Два тела массами кг и кг двигавшиеся со скоростями и относительно некоторой ИСО, сталкиваются абсолютно неупруго. Определить их скорость после удара. Действием других тел пренебречь.

13. Определите, во сколько раз уменьшится скорость шара, движущегося со скоростью , при его соударении с покоящимся шаром, масса которого в раз больше массы налетающего шара. Удар считать центральным абсолютно упругим.

14. Две тележки, каждая массы М, движутся друг за другом по инерции (без трения) с одинаковой скоростью . На задней тележке находится человек массы m. В некоторый момент человек прыгнул в переднюю тележку со скоростью u относительно своей тележки. Какой стала скорость передней тележки?

15. Железнодорожная платформа в момент начинает двигаться под действием постоянной силы тяги F. Пренебрегая трением в осях, найти зависимость от времени скорости платформы , если:

1) платформа нагружена песком, который высыпается через отверстие в её дне с постоянной скоростью (кг/с), а в момент масса платформы с песком равна ;

2) на платформу, масса которой , в момент начинает высыпаться песок из неподвижного бункера так, что скорость погрузки постоянна и равна (кг/с).

16. Ракета поддерживается в воздухе на постоянной высоте, выбрасывая вертикально вниз струю газа со скоростью u. Найти:

1) сколько времени ракета сможет оставаться на этой высоте, если начальная масса топлива составляет n - ю часть её массы (без топлива);

2) какую массу газов должна ежесекундно выбрасывать ракета, чтобы оставаться на постоянной высоте, если начальная масса ракеты (с топливом) равна .

17. Ракета поднимается с нулевой начальной скоростью вертикально вверх в однородном поле тяжести. Первоначальная масса ракеты (с топливом) равна . Скорость газовой струи постоянна и равна u относительно ракеты. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти скорость ракеты в зависимости от её массы m и времени подъёма t.

18. Пуля вылетает из винтовки в горизонтальном направлении со скоростью м/с. Какова скорость винтовки при отдаче, если её масса в 400 раз больше массы пули?

19. Тележка с песком катится со скоростью м/с по горизонтальной поверхности. Навстречу тележке летит шар массой кг со скоростью м/с, направленный под углом к горизонту. После встречи с тележкой шар застревает в песке. С какой скоростью и в какую сторону покатится тележка после встречи с шаром? Масса тележки с песком кг. Силой сопротивления качению тележки можно пренебречь.

20. Груз массой соскальзывает без трения с наклонной доски на неподвижную платформу. С какой скоростью начнёт двигаться платформа, когда груз упадёт на неё? Масса платформы , высота начального положения груза над уровнем платформы h, угол наклона доски к горизонту . Трение отсутствует.

3. Динамика вращательного движения твёрдого тела.

Динамика плоского движения твёрдого тела.

Примеры решения задач.

Задача 1. К ободу однородного диска радиусом R = 0,2 м приложена постоянная касательная сила F = 100 Н. При вращении на диск действует момент сил трения М_тр = 5 Н·м. Найти массу диска, если известно, что диск вращается с постоянным угловым ускорением  = 100 (см.рис. 3.1).

Р ешение

Определим направление углового ускорения и момента силы , применяя правило правого винта. Если смотреть с конца вектора , вращение будет происходить против часовой стрелки. Момент сил трения будет тормозить вращение, значит, будет направлен против вращающего момента вдоль оси вращения. Угловое ускорение будет направлено в сторону главного момента всех сил, т.е. в сторону алгебраической суммы моментов и . Тогда можно записать основной закон динамики вращательного движения так:

М  М_тр = J,

где М = FR.

Момент инерции диска (сплошной цилиндр) J равен Получаем  = FR – M_тр, откуда ^.

Подставляя численные значения, получаем

кг.

Ответ: m = 7,5 кг.

Задача 2. Через блок, имеющий форму диска, перекинут шнур. К концам шнура привязали грузики массой г и г. С каким ускорением будут двигаться грузики, если масса блока г? Трение при вращении блока можно считать равномерно распределённой по ободу.

Решение.

Сделаем рисунок и расставим все силы, действующие на тела. Составим уравнение движения каждого тела в скалярной форме

Где момент инерции диска , а угловое ускорение выразим через формулу связи с линейным . Тогда, после подстановки, решая систему уравнений, определяем ускорение:

м/с ².

Ответ: м/с ².

Задача 3. С наклонной плоскости скатывается без скольжения сплошной цилиндр и тележка, поставленная на лёгкие колёса. Массы цилиндра и тележки одинаковы. Какое из тел скатится быстрее и во сколько раз.

Р ешение.

Задачу решим, используя закон сохранения энергии. Для тележки, движущейся только поступательно справедливо: . Цилиндр движется как поступательно, так и вращательно. Зная определение момента инерции цилиндра и выражая угловую скорость через линейную, запишем закон сохранения энергии при движении цилиндра:

Разделив одно уравнение на другое, получим: . Считая, что оба тела начинают движение из состояния покоя и проходят один и тот же путь, выразим отношение времени из уравнения пути при равноускоренном движении:

Ответ: .

Задача 4. Два шара одинакового радиуса см закреплены на концах невесомого стержня. Расстояние между шарами м. Масса каждого шара кг. Найти: а) момент инерции системы относительно оси, проходящей через середину стержня перпендикулярно к нему; б) момент инерции системы относительно той же оси, считая шары материальными точками, массы которых сосредоточены в их центрах; в) относительную ошибку , которую мы допускаем при вычислении момента инерции, заменяя величину величиной .

Р ешение.

Момент инерции шара: . По теореме Штейнера , где . Найдём момент инерции каждого шара

Используя свойство аддитивности момента инерции, получим

,

где - момент инерции системы, - момент инерции элементов, входящих в систему, найдём момент инерции системы. Т.к. шары одинаковые, то

Момент инерции материальной точки . Тогда момент инерции системы

.

Относительная ошибка

Ответ: ; ; .

Задача 5. Шар массой кг катится без скольжения, ударяется о стенку и откатывается от неё. Скорость шара до удара о стенку м/с, после удара м/с. Найти количество теплоты Q, выделившееся при ударе шара о стенку.

Р ешение.

Будем считать, что движение происходит в горизонтальной плоскости, тогда количество теплоты Q равно убыли кинетической энергии . Здесь - кинетическая энергия шара до удара, она складывается из кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращения.

,

где .

Аналогично для - кинетическая энергия шара после удара:

,

где .

Преобразуем предварительно выражения и :

Тогда

Отсюда

мДж.

Ответ: мДж.