Задача №71

Построить проекции точек пересечения прямой с поверхностью: d   = А,В.

Алгоритм построения.

d   = А,В ( две точки ) 1 ГПЗ, 3 алгоритм

1. Для решения задачи необходимо взять вспомогательную плоскость - посредник .

  П₂;   d _{2 =} d₂

2. Теперь в пересечении участвуют плоскость  и поверхность, причем плоскость - фронтально проецирующая.

   = в (плоская кривая второго порядка - эллипс.) 2 ГПЗ, 2 алгоритм.

  П₂  в₂ = ₂; в₁  

Построение горизонтальной проекции кривой в₁:

а) На П₂ плоскость - посредник ₂ пересекает проекции всех образующих цилиндра. Сначала построим точки на очерковых образующих цилиндра - 1(1₂) и 2(2₂). Находим горизонтальные проекции образующих с учетом видимости и соответствующие проекции точек на них - 1₁ и 2₁.

Обратите внимание: точка 2₁ должна быть невидимой, но нам она видна через верхнее отверстие, т.к. у цилиндрической поверхности нет плоскостей оснований.

б) Видимость относительно П₁ определяется точками, лежащими на образующих АА’, ВВ’.

Чтобы найти эти точки, произведём следующее:

1. Определим положение этих образующих на П₂;

2. Найдём точки пересечения этих образующих с ₂: 4₂, 4₂’, 5₂, 5₂’.

3. Находим горизонтальные проекции этих точек: 4₁ и 5₁’ - вершинные точки, лежащие на очерковых образующих, и 4₁’ и (5₁), лежащие на промежуточных образующих.

4. Таким образом, видимость относительно П₁ определится участком цилиндра от образующей АА’(А₂А₂’) до ВВ’(В₂В₂’) через СС’(С₂С₂’).

в) Для построения кривой в₁ - эллипса найденных точек недостаточно, поэтому на П₂ возьмем произвольно еще 3 пары точек: 3(3₂, 3₂’), 6(6₂, 6₂’) и 7(7₂, 7₂’).

На П₁ точки 3₁’, 6₁ и 6₁’ будут видимые;

точки 3₁ и 7₁’ - невидимые,

точка 7₁ - видимая через отверстие сверху.

г) С учетом видимости на П₁ соединим точки и получим кривую в₁

3. Там, где в₁  d₁ = А₁,В₁ причем точка В₁ - невидимая.С помощью линий связи находим фронтальные проекции точек А₂,В₂, причем, точка В₂ - невидима.

4. Уточняем видимость прямой d на П₁ и П₂. Горизонтальная проекция прямой d₁ до точки А₁ - видимая, внутри невидимая и будет видна только после очерковой цилиндра. Видимость фронтальной проекции прямой d : от точки А₂ до 2₂ - не видна.

Задача №73

Построить проекции линии пересечения:

АВС  DEF = MN (прямая) 2 ГПЗ, 3 алгоритм.

MN - прямая, для построения которой необходимо иметь две точки, поэтому возьмём две плоскости-посредника: Г₂ и Г₂’, которые выгодно провести через две стороны любого из треугольников. Проведём Г(Г₂) через сторону DF(D₂F₂).

Алгоритм построения

1. Г  АВС = 1,2 (прямая) 2 ГПЗ, 2 алгоритм.

Г  П₂  1₂,2₂ = Г₂

1₁, 2₁  АВС.

Там, где 1₁, 2₁  D₁F₁ = M₁  M₂  D₂F₂

Определили первую точку М(М₁,М₂)

2. Нахождение второй точки N(N₁, N₂)

Г’(Г₂’) = ЕF(E₂F₂);

Г’  АВС = 3,4 (прямая)

2 ГПЗ, 2 алгоритм

Г’  П₂  3₂, 4₂ = Г₂’

3₁4₁  АBC.

Там, где 3₁,4₁  E₁F₁ = N₁  N₂  E₂F₂

Линия пересечения фигур MN - построена. Следующий этап решения - видимость пересекающихся плоскостей. Возьмём фронтально конкурирующие точки 1 и 5 и определим видимость D₂M_2. На П₁ точка 5₁ расположена ближе точки 1₁, следовательно, D₂M₂ - видимая, а также видна E₂N₂

Для определения видимости на П₁ отрезков Е₁N₁ и скрещивающегося с ним А₁С₁ достаточно посмотреть на П₂ по стрелке Л: прямая Е₂N₂ выше, чем прямая А₂С₂, следовательно, отрезок Е₁N₁, а также и отрезок D₁М₁ - видимые.