3. Обработка результатов наблюдений по методу наименьших квадратов

Музыку я разъял, как труп.

Поверил я алгеброй гармонию.

А. Пушкин. Моцарт и Сальери

3.1. Двумерные выборки

До сих пор мы считали, что генеральная совокупность Х – одномерная случайная величина. В результате эксперимента такая случайная величина принимает одно значение – х. Но генеральная совокупность может быть и многомерной случайной величиной. Здесь мы ограничимся случаем двумерных случайных величин (Х, Y). Составляющие двумерного вектора – случайные величины Х и Y - могут быть как зависимыми, так и независимыми. Значения двумерной случайной величины (Х, Y) – это упорядоченные пары чисел (x, y). Выборка объема n из двумерной генеральной совокупности - это набор из n упорядоченных пар (x_i,у_i), i = =1,2,...,n. Такие выборки называются двумерными. Рассмотрим несколько примеров.

1. Генеральная совокупность (X, Y) – это множество предложений русского языка. Случайная величина Х – число слов в предложении. Случайная величина Y - число букв в предложении. Ниже приводится текст из 10 предложений - отрывок из рассказа А.П. Чехова «Анна на шее». После каждого предложения в скобках указано количество слов (x_i) и количество букв (y_i) в данном предложении. Пробелы здесь не учитываются.

«Поехали на бал. (3,12) Вот и дворянское собрание, и подъезд со швейцаром. (8,41) Передняя с вешалками, шубы, снующие лакеи и декольтированные дамы, закрывающиеся веерами от сквозного ветра; пахнет светильным газом и солдатами. (19,122) Когда Аня, идя вверх по лестнице под руку с мужем, услышала музыку и увидела в громадном зеркале всю себя, освещенную множеством огней, то в душе ее проснулась радость и то самое предчувствие счастья, какое испытывала она в лунный вечер на полустанке. (41,203) Она шла гордая, самоуверенная, в первый раз чувствуя себя не девочкой, а дамой, и невольно походкою и манерами подражая своей покойной матери. (22,106) И в первый раз в жизни она чувствовала себя богатой и свободной. (12,52) Даже присутствие мужа не стесняло ее, так как, перейдя порог собрания, она уже угадала инстинктом, что близость старого мужа нисколько не унижает ее, а, наоборот, кладет на нее печать пикантной таинственности, которая так нравится мужчинам. (35,197) В большом зале уже гремел оркестр, и начались танцы. (9,42) После казенной квартиры, охваченная впечатлениями света, пестроты, музыки, шума, Аня окинула взглядом залу и подумала: «Ах, как хорошо!» и сразу отличила в толпе всех своих знакомых, всех, кого она раньше отличала на вечерах и гуляньях, всех этих офицеров, учителей, адвокатов, чиновников, помещиков, его сиятельство, Артынова и дам высшего общества, разодетых, сильно декольтированных, красивых и безобразных, которые уже занимали свои позиции в избушках и павильонах благотворительного базара, чтобы начать торговлю в пользу бедных. (72,43) Громадный офицер в эполетах - она познакомилась с ним на Старо‑Киевской улице, когда была гимназисткой, а теперь не помнила его фамилии – точно из-под земли вырос и пригласил ее на вальс, и она отлетела от мужа, и ей уже казалось, будто она плыла на парусной лодке, в сильную бурю, а муж остался далеко на берегу.» (53,247)

В табличном виде выборка выглядит так:

Предложение	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Количество слов (xi)	3	8	19	41	22	12	35	9	72	53
Количество букв (yi)	12	41	122	203	106	52	197	42	439	247

2. Из большого мешка, содержащего монеты одинакового достоинства, случайным образом отобраны 10 монет. Каждая монета была взвешена, и для каждой определен ее возраст:

Монета	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Время обращения, лет (xi)	5	9	14	17	23	31	35	42	46	50
Вес, г (yi)	2,82	2,85	2,80	2,80	2,79	2,78	2,77	2,79	2,75	2,72

3.Результаты подбрасывания двух кубиков:

№ подбрасывания	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Число очков, выпавшее на 1-м кубике	4	6	5	1	1	5	1	5	6	6
Число очков, выпавшее на 2-м кубике	5	1	2	3	6	1	1	6	2	6