1.3. Другие примеры

6.3.1. Проверка гипотезы о нормальном законе распределения

Заказчику необходимы валы с допустимым отклонением диаметра от номинального размера ±0,1 мкм. Прежде чем покупать партию из 1000 валов, он приобрел партию из 200 валов, чтобы оценить ожидаемую долю неподходящих ему изделий. Результаты измерений представлены в

табл. 6.4.

Таблица 6.4

200 Отклонений диаметра вала от номинального размера (мкм)

Середина интервала	-0,14	-0,12	-0,10	-0,08	-0,06	-0,04	-0,02
Частота	3	8	11	20	27	36	29
Середина интервала	0,00	0,02	0,04	0,06	0,08	0,10	0,12
Частота	18	17	17	8	4	1	1

Здесь h = 0,02 мкм; n = 200; nh = 4.

Гистограмма показана на рис.6.3. Высоты гистограммы таковы:

h₁ = 0,75; h₂ = 2; h₃ = 2,75; h₄ = 5; h₅ = 6,75; h₆ = 9; h₇ = 7,25; h₈ = 4,5;

h₉ = h₁₀ = 4,25; h₁₁ = 2; h₁₂ = 1; h₁₃ = h₁₄ = 0,25.

Числовые характеристики: = - 0,028 (мкм); S = 0,05 (мкм).

Судя по гистограмме, можно заключить, что случайная величина Х – отклонение диаметра вала от номинального – имеет нормальное распределение. Функция плотности нормального закона зависит от двух параметров – а и  : .

-0,15 -0,13 -0,11 -0,09 -0,07 -0,05 -0,03 -0,01 0,01 0,03 0,05 0,07 0,09 0,11 0,13

Рис. 6.3

Как известно, М(Х) = а,  (Х) = . Для определения а и  положим, что а = ,  = S. Отсюда a = - 0,03;  = 0,05 (значение округлено, исходя из соображений здравого смысла). Тогда

.

Значения функции плотности вероятности на границах интервалов таковы (табл. 1.5):

Таблица 6.5

xi	-0,15	-0,13	-0,11	-0,09	-0,07	-0,05	-0,03	-0,01
f(xi)	0,45	1,08	2,22	3,89	5,81	7,38	8,00	7,38
хi	0,01	0,03	0,05	0,07	0,09	0,11	0,13	–
f(xi)	5,81	3,89	2,22	1,08	0,45	0,16	0,05	–

График функции плотности вероятности показан на рис. 6.3.

Вычислим теоретические вероятности попадания в интервалы. Формула вычисления вероятности попадания в интервал [x_i-1; x_i) нормально распределенной случайной величины Х такова:

 X  ,

где Ф(х) – функция Лапласа.

Значения функции Лапласа приведены в приложении 1. Отсюда:

X ;

X .

Дальнейшие вычисления приведены в табл.6.6.

Из-за того, что значение параметра a случайно совпало с одной из границ, значения вероятностей Р_i оказались симметричны относительно интервала (-0,05; -0,01). Два последних интервала [0,09; 0,11) и [0,11; 0,13) объединены ввиду их малочисленности.

Положим  = 0,05. Число степеней свободы r = 13 - 2 - 1 = 10, ²_кр =

=18,3 > ²_эксп = 8,06. Нет оснований отвергнуть выдвинутую нами гипотезу о нормальном законе распределения отклонений диаметра вала от номинального значения.

Таблица 6.6

[хi-1; xi)						pi		npi		ni		ni -npi
		-2,4		-0,492										
[-0,15;-0,13)		-2		-0,477		0,015		3		3		0		0
[-0,13;-0,11)	-1,6		-0,445		0,032		6,4		8		1,6		0,4
[-0,11; -,09)		-1,2		-0,387		0,058		11,6		11		-0,6		0,03
[0,09;-0,07)		-0,8		-0,288		0,099		19,8		20		0,2		0,002
[-0,07,-0,05)		-0,4		-0,155		0,133		26,6		27		0,4		0,006
[-0,05;-0,03)		0		0,000		0,155		31		36		5		0,81
[-0,03;-0,01)		0,4		0,155		0,155		31		29		-2		0,13
[-0,01;0,01)		0,8		0,288		0,133		26,6		18		-8,6		2,78
[0,01;0,03)		1,2		0,387		0,099		19,8		17		-2,8		0,4
[0,03;0,05)		1,6		0,445		0,058		11,6		17		5,4		2,51
[0,05;0,07)		2		0,477		0,032		6,4		8		1,6		0,4
[0,07;0,09)		2,4		0,492		0,015		3		4		1		0,33
[0,09;0,10		2,8		0,497		0,005
[0,11;0,13)		3,2		0,499		0,002						0,6		0,26
		–		–		0,991		198,2		200		–		8,06

Оценим долю валов, подходящих заказчику. Вероятность того, что диаметр вала соответствует требованиям заказчика равна X0,1) =

.

В среднем около 9 % валов окажутся непригодными для заказчика.