2.2.4. О симметричных и несимметричных распределениях
Закон распределения непрерывной случайной величины Х называется симметричным, если график функции плотности вероятности f(x) имеет ось симметрии, например, нормальный закон распределения симметричен. Для унимодального симметричного закона распределения очевидно равенство моды, медианы и математического ожидания. Если имеет место небольшая асимметрия (рис 2.6.), то возможны только два случая: xмо < хме < М(Х) или М(Х) < хме < хмо. То же справедливо и для выборок из подобных генеральных совокупностей. Значит, разность ( - ) можно использовать в качестве меры асимметрии: чем больше эта разность, тем больше асимметрия. Асимметрия называется положительной, когда > , и отрицательной, когда < .
Рис.
2.6
Для
получения безразмерной меры разность
(
-
)
делят на S.
Число (
-
)/S
называется первым
коэффициентом
асимметрии
Пирсона
(К.Пирсон
(1857-1936)
– один из
создателей современной математической
статистики).
Второй коэффициент асимметрии Пирсона
приблизительно равен первому, только
мода заменяется медианой. Второй
коэффициент асимметрии равен числу 3(
-
)/S.
Коэффициент
3 появился
из-за того, что обычно верна приближенная
формула (
-
)
3(
-
).
Для выборки
2 имеем:
1-й коэффициент асимметрии Пирсона равен (3,77 - 3,75)/0,36 = 0,056;
2-й коэффициент асимметрии Пирсона равен 3*(3,77 – 3,76)/0,36 = =0,083.
Наша выборка извлечена из генеральной совокупности с симметричным законом распределения.
В теории вероятностей коэффициент асимметрии определяется как отношение третьего центрального момента к кубу среднеквадратического отклонения.
2.2.5. Вычисление выборочного среднего и выборочной дисперсии для объединения двух выборок
Пусть из одной и той же генеральной совокупности Х извлечены две выборки объемов n1 и n2 и для каждой выборки отдельно вычислены выборочное среднее и выборочная дисперсия: x1, x2, S12, S22. Найдем параметры х и S2 для объединения этих выборок .
1. , Тогда .
Отсюда
.
Эта же формула применяется и тогда, когда выборки сгруппированы.
2.
.
Рассмотрим выражение
.
После приведения к общему знаменателю получаем, что оно равно
.
Следовательно,
.
Но если выборки извлечены из одной и той же генеральной совокупности, то числа 1 и 2 не должны сильно отличаться друг от друга. Кроме того, легко видеть, чтo
.
Поэтому
членом
можно пренебречь
и положить
.
Для примера разобьем выборку 2 на две части по 25 вариант в каждой. Как разбивать – все равно, главное, чтобы выбор был случайным. Пусть выборки будут такие:
1-я часть:
3,7 |
3,85 |
3,7 |
3,78 |
3,6 |
4,45 |
4,2 |
3,87 |
3,33 |
3,76 |
3,75 |
4,03 |
3,75 |
4,18 |
3,8 |
4,75 |
3,25 |
4,1 |
3,55 |
3,35 |
3,38 |
3,3 |
4,15 |
3,95 |
3,5 |
|
|
|
|
|
Для этой выборки 1 = 3,8; S12 = 0,132.
2-я часть:
3,88 |
3,71 |
3,15 |
4,15 |
3,8 |
4,22 |
3,75 |
3,58 |
3,55 |
4,08 |
4,03 |
3,24 |
4,05 |
3,56 |
3,05 |
3,58 |
3,98 |
3,88 |
3,78 |
4,05 |
3,4 |
3,8 |
3,06 |
4,38 |
4,2 |
|
|
|
|
|
Для этой выборки 2 = 3,76; S22 = 0,131. Тогда
;
;
S
= 0,36.
Небольшие отличия и S2 от найденных ранее получились из-за того, что 1, 2, S12, S22 считались “в лоб”, для несгруппированных выборок.