3.9.Задачи

1. Как выражаются коэффициенты линейного уравнения регрессии через выборочный коэффициент корреляции r ?

2. Показать, что выборочный коэффициент корреляции r не изменится, если значения х_i, у_i подвергнуть преобразованию: х_i = х_i + a; у_i = у_i + b;

i = 1,2, ... , n. Как изменится выборочный коэффициент корреляции r, если все числа х_i умножить на одно и то же число d, все числа y умножить на одно и то же число b, i = 1,2, ..., n?

3. В соответствии с методом наименьших квадратов составить систему уравнений для определения коэффициентов следующих уравнений регрессии:

у = a + be^x, y = a + b·sinωx + с·cosωx

(ω – заданное число), .

В задачах 4 - 19 нужно найти числовые характеристики выборки и определить (если r ≥ 0,7) коэффициенты линейного уравнения регрессии х на у, если у можно принять за независимую переменную.

4. Результаты тестирования (баллы) 10 студентов. Первый тест проверяет память (x), второй - способность к логическому мышлению (у):

xi	5	8	7	10	4	7	9	6	8	6
yi	7	9	6	9	6	7	10	7	6	8

5. Оценка за тест по способностям (х) шести продавцов–практикантов и результаты их работы за первый год (у) в сотнях фунтов проданного товара:

xi	25	42	33	54	29	36
yi	42	73	50	90	45	48

6. Снашивание (х) и твердость (у) резины в условных единицах:

xi	21	15	12	22	5
yi	5	6	7	4	8

7. Масса поросят (у) в килограммах в зависимости от возраста (х) в неделях:

xi	1	2	3	4	5	6	7	8
yi	2,5	3,9	5,2	6,3	7,5	9,0	10,8	13,1

8. В книге «Основы химии» Д.И.Менделеева приводятся данные о растворимости азотнокислого натрия NaNO₃ в зависимости от температуры воды. Указывается, сколько условных частей NaNO₃ (у) растворяется в 100 частях воды при соответствующих температурах в ^oС (х):

xi	0	4	10	15	21 .	29	36	51	68
yi	66,7	71,0	76,3	80,6	85,7	92,9	99,4	113,6	125,1

9. Средняя температура января в г. Саратове (х) и в г. Алатыре (Чувашия) (у) измерялась в течение 13 лет:

Год	1891	1892	1893	1894	1895	1896	1897
xi	-19,2	-14,8	-19,6	-11,1	-9,4	-16,9	-13,7
yi	-21,8	-15,4	-20,8	-11,3	-11,6	-19,2	-13,0
Год	1899	1911	1912	1913	1914	1915	―
xi	-4,9	-13,9	-9,4	-8,3	-7,9	-5,3	―
yi	-7,4	-15,1	-14,4	-4,1	-10,5	-7,2	―

10. Средняя температура июня в г. Москве (х) и в г. Ярославле (у) измерялась в течение 40 лет:

xi	yi	xi	yi	xi	yi	xi	yi	xi	yi
12,0	10,8	13,9	10,1	15,0	13,8	17,2	13,9	18,1	16,0
12,0	11,3	11,2	10,0	15,0	16,0	16,9	14,8	18,4	17,8
12,0	12,0	14,0	10,0	15,5	13,9	16,9	15,0	19,2	15,0
12,0	13,0	14,0	12,0	15,9	14,7	17,0	16,0	19,3	16,1
12,8	10,9	13,0	12,4	16,0	13,0	16,8	17,0	20,0	17,0
13,8	10,0	15,0	11,0	15,9	15,0	17,5	16,0	20,1	17,7
13,1	11,5	14,9	13,0	16,0	16,0	18,0	14,0	14,0	14,8
13,0	13,0	15,9	14,2	16,9	12,9	18,0	14,0	14,0	15,2

11. Объем продажи (х) в миллиардах долларов и чистый доход (у) в миллионах долларов 20 фирм в США:

xi	8,9	8,4	7,4	7,2	7,0	6,1	5,9	5,8	5,5	4,8
yi	441	278	456	934	89	611	770	53	243	217
xi	4,4	4,2	4,2	4,1	3,8	3,8	3,6	3,5	3,3	3,2
yi	454	291	321	51	111	2	356	150	237	151

Определяется ли доход объемом продажи?

12. Среднегодовые уровни воды в озере Виктория - Ньянза (х) относительно некоторого фиксированного значения и числа солнечных пятен (у) за 1902 - 1921 гг.:

Год	xi	yi	Год	xi	yi
1902	-10	5	1912	-11	4
1903	13	24	1913	-3	1
1904	18	42	1914	-2	10
1905	15	63	1915	4	47
1906	29	54	1916	15	57
1907	21	62	1917	35	104
1908	10	49	1918	27	81
1909	8	44	1919	8	64
1910	1	19	1920	3	38
1911	-7	6	1921	-5	25

13. Число айсбергов, наблюдавшихся помесячно к югу от Ньюфаундленда (х) и к югу от Большой отмели (у) за 1920 г.:

xi	3	10	36	83	130	68	25	13	9	4	3	2
yi	0	1	4	9	18	13	3	2	1	0	0	0

14. Число разводов на 1000 жителей в 20 штатах США (у), средний доход на семью (x₁) в тыс. долл.; процент городского населения (х₂):

yi	x1i	х2i	yi	x1i	х2i
1,2	4,9	38,5	3,6	4,9	75
1,1	6,3	83,6	3,9	5,2	47,5
0,4	6,4	85,4	4,0	5,9	56,8
2,4	6,2	73,4	2,7	5,8	73,7
2,7	5,8	62,4	3,0	5,4	65,7
2,1	6,2	73,4	2,4	5,9	74,9
1,2	4,2	39,3	1,2	4,9	51,3
1,5	4,9	54,3	3,3	6,2	68,1
1,9	5,0	55,8	3,2	5,9	62,2
1,6	4,6	62,9	3,1	6,7	86,4

15. На сталелитейном заводе обследовали 15 плавок определенного сорта стали. Учитывался угар кремния (х), измеряемый в процентах, и выход стали (у), также измеряемый в процентах.

xi	7,9	0,9	3,7	8,1	6,9	0,8	6,0	7,2	8,8	10,2	11,2	0,5
yi	70,3	85,0	100,0	78,1	77,9	98,4	59,2	86,8	70,1	42,2	81,9	97,1
xi	4,6	9,7	1,0
yi	68,2	92,1	91,2

16. Продолжительность послеоперационного лечения в клинике (у) в днях и возраст больных (х) в годах, оперировавшихся по поводу грыжи:

xi	yi	xi	yi	xi	yi	xi	yi
78	9	68	7	79	3	75	7
60	4	79	11	51	5	02	0
68	7	80	4	57	8	65	16
62	35	48	9	51	8	42	3
76	9	35	2	48	3	54	2
76	7	58	4	48	5	43	3
64	5	40	3	66	8	04	3
64	19	19	4	71	2	52	8

17. При исследовании некоторой химической реакции через каждые 5 минут определялось количество вещества (у) в %, оставшееся в системе. Подобрать коэффициенты уравнения у = а + bх + сх², где х – время после начала реакции в минутах.

xi	0	7	12	17	22	27	32	37
yi	100	87,3	72,9	63,2	54,7	47,5	41,4	36,3

18. Барометрическое давление связано с высотой следующим соотношением: ,

где р - барометрическое давление на высоте z;

Т - температура;

p₀ и k - параметры.

По методу наименьших квадратов оценить значения параметров k/T и р₀ по результатам наблюдений, проведенных при постоянной температуре:

zi,м	1000	1100	1200	1400	1500	1600
pi, мм рт. ст.	640	595	504	363	310	267

19. Для исследования зависимости давления р насыщенного пара (Н/см²) от удельного объема V (м³/кг) составлена таблица опытных данных:

Vi	3,334	1,630	0,866	0,423	0,265	0,170	0,115
pi	0,482	1,034	2,027	4,247	7,164	11,480	17,600

Подобрать коэффициенты функциональной зависимости p = aV^b.

20. Функциональная зависимость удельного сопротивления кристаллического кварца ρ (Ом·см) от абсолютной температуры Т (K) имеет вид .

Используя опытные данные, оценить значения параметров а и b.

ρ i	5*1016	4*1015	3*1014	2*1013	2*1012	1,5*1011	1010
Тi	335	365	400	445	500	570	670

21. Получена выборка наблюдений переменных х и у:

xi	1	2	3	5	6	7	8
yi	62,1	87,2	109,3	127,3	134,3	136,2	136,9

Для представления этих данных предлагается выбрать лучшую из предложенных моделей:

1) 2) 3) . 4) .

Оценить значения параметров а и b.

22. На заводе производят некоторый материал, твердость которого хотят повысить. Для этого увеличивают содержание некоторого химического вещества. Ниже приведены данные для 20 случайно отобранных образцов. Значения у – твердость образца (условные единицы), значения х – процентное содержание химического вещества относительно некоторого уровня.

xi	18	18	18	6	20	9	11	22	17	17
yi	72,2	80,1	69,8	58,2	79,7	45,6	58,6	85,4	80,1	66,7
xi	19	14	22	8	22	11	24	14	24	5
yi	79,1	56,4	82,4	55,2	107,8	34,4	115,4	73,5	99,5	56,8

Подобать коэффициенты линейного и параболического уравнений регрессии. Какое из уравнений больше соответствует экспериментальным данным?