3.2. Графическое представление двумерных выборок — диаграммы рассеяния

Графическое представление одномерной выборки – это гистограмма. Двумерные выборки удобно представлять с помощью так называемых диаграмм рассеяния. Каждый элемент двумерной выборки представляется точкой на плоскости с координатами (x_i, y_i), i = 1,2,…,n. Диаграммы рассеяния, представляющие двумерные выборки из наших примеров, приведены на рис.3.1 – 3.3.

На рис. 3.1 хорошо видно, что точки на диаграмме рассеяния группируются относительно некоторой прямой, причем чем больше слов в предложении, тем больше в нем букв. В таком случае говорят, что между числом слов и числом букв в предложении существует положительная линейная корреляция (слово “корреляция” означает связь). Во втором случае (см. рис. 3.2) хорошо заметна отрицательная линейная корреляция между массой монеты и ее возрастом. Точки на третьей диаграмме рассеяния (см. рис. 3.3) расположены хаотически. Следует допустить отсутствие связи между числом очков, выпавшим на первом кубике, и числом очков, выпавшим на втором. Другими словами разумно предположить, что случайные величины Х и Y- числа очков, выпавшие на первом и втором кубике соответственно, независимы.

. 3.2

Рис. 3.2

Рис. 3.3

3.3. Выборочный коэффициент корреляции — числовая характеристика двумерной выборки

В теории вероятностей числовой мерой линейной связи между случайными величинами Х и Y служит коэффициент корреляции ρ(Х,Y), определяемый по формуле

.

Коэффициент корреляции обладает следующими свойствами:

1. Если X и Y независимы, то ρ(Х,Y) = 0.

2. | ρ(Х,Y) | ≤ 1.

3. | ρ(Х,Y) | = 1 тогда и только тогда, когда случайные величины X и Y связаны линейной зависимостью Y = aX + b.

В математической статистике аналогом является выборочный коэффициент корреляции r, определяемый по формуле

.

Нетрудно убедиться в следующих свойствах выборочного коэффициента корреляции:

1. | r | ≤ 1.

2. | r |= 1 тогда и только тогда, когда точки (x_i, y_i) лежат на одной прямой.

3. Если точки (x_i, y_i) расположены на диаграмме рассеяния хаотически, то значение r весьма близко к нулю. Значение r может оказаться близким к нулю и в случае группировки точек относительно некоторой кривой, например, параболы.

Вычислим значение выборочного коэффициента корреляции для наших трех случаев. Для удобства будем использовать таблицы.

Пример с текстом (табл. 3.1).

Таблица 3.1

i	xi	yi	xi yi	xi2	yi2
1	3	12	36	9	144
2	8	41	328	64	1681
3	19	122	2318	261	14884
4	41	203	8323	1681	41209
5	22	106	2332	484	11236
6	12	52	624	144	2704
7	35	197	6895	1225	38809
8	9	42	378	81	1764
9	72	439	31608	5184	192721
Окончание табл. 3.1
10	53	247	13091	2809	61009
Сумма	274	1461	65933	12042	366161

Отсюда:

= 27,4; S_x² = 1204,2 – 27,4² = 453,44; S_x = 21,3;

= 146,1; S_y² = 36616,1 – 146² = 15270,9; S_y = 123,58;

= 6593,3; r = = 0,984 .

Это значение весьма близко к единице. Число букв и число слов в предложении почти линейно зависят друг от друга.

Пример с монетами (табл. 3.2)

Таблица 3.2

i	xi	yi	xi yi	xi2	yi2
1	5	2,82	14,1	25	7,95
2	9	2,85	25,65	81	8,12
3	14	2,80	39,2	196	7,84
4	17	2,80	47,6	289	7,84
5	23	2,79	64,17	529	7,78
6	31	2,78	86,18	961	7,73
7	35	2,77	96,95	1225	7,67
8	42	2,79	117,18	1764	7,78
9	46	2,75	126,5	2116	7,56
10	50	2,72	136	2500	7,40
Сумма	272	27,87	753,53	9686	77.67

r = = -0,83 .

Такое значение r указывает на достаточно сильную отрицательную линейную зависимость между возрастом монеты и ее массой.

Пример с кубиками (табл. 3.3).

Таблица 3.3

i	xi	yi	xi yi	xi2	yi2
1	4	5	20	16	25
2	6	1	6	36	1
3	5	2	10	25	4
4	1	3	3	1	9
5	1	6	6	1	36
6	5	1	5	25	1
7	1	1	1	1	1
				Окончание	табл. 3.3
i	xi	yi	xi yi	xi2	yi2 i2
8	5	6	30	25	36
9	6	2	12	36	4
10	6	6	36	36	36
Сумма	40	33	129	202	153

= -0,07

Такое маленькое значение r указывает на отсутствие связи между результатами бросаний кубиков, что соответствует интуитивному представлению о независимости бросаний.

В дальнейшем выражение будем обозначать через S_xy и назовем его выборочной ковариацией.