6.3.4. Проверка гипотезы о законе распределения Пуассона

В таблице приведены числа n_i участков равной площади (0,25 км²) южной части Лондона, на каждый из которых приходилось по х_i попаданий самолетов-снарядов во время второй мировой войны

(табл. 6.11).

Таблица 6.11

хi	0	1	2	3	4	5 и больше
ni	229	211	93	35	7	1

Всего n = 576 участков. При уровне значимости  = 0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина Х – число самолетов-снарядов, попавших на участок, имеет распределение Пуассона.

Вероятность того, что случайная величина X, имеющая распределение Пуассона, примет значение i, равна

,

где  > 0 - параметр закона, i = 0,1,2, ….

Оценим значение параметра  по выборке. Так как М(Х) = , то положим  = , .

Положим  = 0,93. Теперь можно найти вероятности р_i = р(Х = i), i = 0,1,2,3,4,5.

; ;

; ;

; .

Остальные вычисления сведены в табл. 6.12.

Таблица 6.12

i	pi	npi	ni	ni - npi
0	0,395	227,5	229	1,5	0,01
1	0,367	211,4	211	-0,4	0,001
2	0,170	97,9	93	-4,9	0,25
3	0,053	30,5	35	4,5	0,66
4	0,012			-0,6	0,04
5	0,003
–	pi = 1	npi = 576	ni = 576	–	2эксп = 0,96

Два последних значения n₄ и n₅, nр₄ и nр₅ объединены, чтобы обеспечить выполнение условия nр_i  5. Таким образом, осталось 5 разных значений случайной величины: 0, 1, 2, 3 и все, что больше или равно 4. Число степеней свободы равно r = 5 - 1 - 1 = 3, так как по выборке было определено значение параметра . Тогда ²_кр = 7,8 > ²_эксп = 0,96. И в этом случае можно считать справедливой выдвинутую гипотезу.

6.3.5. Последний пример

Согласно закону Геллина, предложенному им в 1855 г., вероятности рождения двоен, троен и четверней есть соответственно р, р², р³, где р – число, постоянное для данной группы населения. На основании приведенных ниже данных проверить, выполняется ли закон Геллина для многоплодных рождений среди японцев и белого населения США. В табл.6.13 через ν_2, ν₃, ν₄ обозначены относительные частоты рождений двоен, троен и четверней соответственно за указанные периоды.

Таблица 6.13

Годы	Население	Число рождений	ν2	ν3	ν4
1922-1936	Белые США	27939615	0,01129	0,0001088	0,00000177
1926-1931	Японцы	1226106	0,00697	0,0000473	–

Прежде всего оценим по нашим выборкам неизвестные значения р. Положим, что сумма частот ν₂ + ν₃ + ν₄ равна сумме , так как ясно, что р – очень маленькое число. Для белого населения США имеем:

;

; ; .

Теперь можно воспользоваться критерием ². Нужно определить, извлечена ли выборка из генеральной совокупности X, имеющей такой закон распределения (табл. 6.14).

Таблица 6.14

xi	1	2	3	4
pi	1- p - p2 - p3	p	p2	p3

Здесь р = 0,0113.

Все вычисления сведем в табл. 6.15. Частоты n₁, n₂, n₃, n₄ равны соответственно:

n₁ = nν₁ = 27939615* (1 - ν₂ - ν₃ - ν₄) = 27621087,5;

n₂ = nν₂ = 27939615*0,01129 = 315438,25; n₃ = nν₃ = 3039,8; n₄ = nν₄ =

=49,45.

Таблица 6.15

xi	pi	npi	ni	ni – npi
1	0,988571	27620293	27621088	795	0,02
2	0,0113	315717	315438	-279	0,25
3	0,000128	3576	3040	-536	80,34
4	0,000001	28	49	–	15,75
–	pi = l	npi = 27939615	ni = 27939615	–	2эксп = 96,4

Число степеней свободы r равно r = 4 - 1 - 1 = 2, ²_кр = 6,0  ²_эксп. Расхождение велико, предложенный закон должен быть отвергнут.

Проделаем те же вычисления в случае с японцами.

ν₂ + ν₃ + ν₄  0,00702.

Тогда ; р² = 0,0000486; р³ = 0,00000034;

n₁ = nν₁ = 1226106*(1 - ν₂ - ν₃ - ν₄) = 1217502; n₂ = nν₂ = 8545,96;

n₃ = nν₃ = 57,99; n₄ = nν₄ = 0.

Найдем ²_эксп (табл. 6.16).

Таблица 6.16

xi	pi	npi	ni	ni -npi
1	0,993	1217502	1217502	0	0
2	0,007	8544	9545,96	1,96	0
3	0,0000486			-1,96	0,06
4	0,00000034
–	pi = 1	npi = 27939615	ni = 27939615	–	2эксп = 0,06

²_кр = 3,8 > ²_эксп = 0,06. В этом случае гипотеза не отвергается.