2.2.6. Общая, межгрупповая и внутригрупповая дисперсии

Пусть из k выборок объемов n₁, n₂, …, n_k соответственно образована одна выборка объема n = n₁ + n₂ +…+ n_k. Обозначим через , ₁, …, _k, S², S₁², …, S_k² выборочные средние и выборочные дисперсии объединенной выборки и исходных выборок соответственно. Обобщая формулы, рассмотренные выше, получим, что объединенная дисперсия равна

.

Величину S называют еще общей дисперсией. Величины S₁², S₂², …, S_k² называют внутригрупповыми дисперсиями.

Величина называется межгрупповой дисперсией. Она показывает, насколько в среднем выборочные средние отдельных выборок отличаются от общего выборочного среднего. Тем самым оценивается, насколько внутригрупповые выборочные средние отличаются друг от друга. Мы разложили общую дисперсию на сумму межгрупповой дисперсии и среднего из внутригрупповых дисперсий.

2.2.7. Кривая Лоренца и показатели концентрации

С помощью кривой Лоренца представляют распределение некоторых ресурсов (капитала, земли, рабочей силы и т.п.) среди владельцев ресурсов. Если значительная часть ресурсов сосредоточена у небольшой доли владельцев, говорят о высокой степени концентрации ресурсов.

Степень концентрации оценивают с помощью специальных коэффициентов. Неравномерность распределения ресурсов можно проследить и по кривой Лоренца, при построении этой кривой по горизонтальной оси откладывают накопленные доли владельцев ресурсов, а по вертикальной оси – относительные накопленные частоты объема ресурсов. Полученные точки соединяют отрезками.

Рассмотрим распределение в 1964 г. ферм в США, сгруппированных по величине занимаемых площадей (табл. 2.5).

Таблица 2.5

Площадь фермы, акр (1акр0,4га)	Число ферм, тыс.	Общая площадь занимаемой земли, тыс. акров	Относительные частоты		Относительные накопленные частоты, %
			Число ферм	Площадь земли	Число ферм	Площадь земли
[0 - 10)	183	778	0,057	0,0007	5,7	0,07
[10 - 50)	637	17325	0,202	0,0156	25,9	1,63
[50 - 100 )	542	39589	0,172	0,0357	43,1	5,2
[100 - 180 )	633	86592	0,201	0,0780	63,2	13,0
[180 - 260 )	355	76857	0,112	0,0692	74,4	19,92
[260 - 500)	451	159598	0,143	0,1438	88,7	34,3
[ 500 - 1000 )	210	144600	0,067	0,1302	95,4	47,32
1000	145	584848	0,046	0,5268	100,0	100,0
ВСЕГО	3156	1110187	1,00	1,00	–	–

Здесь ресурсы – это земля; владельцы ресурсов – фермы. Кривая Лоренца построена на рис. 2.7.

Если бы распределение земли было строго равномерным, то 5,7% ферм располагали бы 5,7% земли; 25,9% ферм располагали бы 25,7% земли и т.д., а кривая Лоренца стала бы биссектрисой координатного угла. Эта биссектриса называется линией равномерного распределения.

Чем сильнее кривая Лоренца отклоняется от линии равномерного распределения, тем выше концентрация ресурсов. В нашем случае 52,7% всей земли сконцентрировано у 4,6% крупных ферм. А на остальные 95,4% небольших ферм приходится менее половины угодий.

Степень концентрации можно оценить, вычисляя площадь фигуры А (см. рис.2.7), ограниченной линией равномерного распределения и кривой Лоренца. Если принять площадь квадрата за 1, то удвоенная площадь фигуры А равна разности 1 минус удвоенная площадь фигуры В.

Последняя легко считается как сумма площадей трапеций, составляющих фигуру В. Таким образом определяется коэффициент Джини:

Линия равномерного распределения

A

B

Рис. 2.7

,

где k – число интервалов группировки;

_xi – относительная частота i-го интервала группировки владельцев ресурсов;

_yi – относительная частота i-го интервала группировки ресурсов;

_yi^нак – относительная накопленная частота i-го интервала группировки ресурсов.

На рис.2.8 показана i-я трапеция, составляющая фигуру B, и приведен расчет площади этой трапеции.

С

S_i

B

A D

Рис. 2.8

Тогда

В нашем случае

G = 1 - 2(0,057*0,0007 + 0,202*0,0163 + 0,172*0,052 + 0,201*0,13 + +0,112*0,1992 + 0,143*0,343 + 0,067*0,4732 + 0,046*1) + (0,057*0,0007 + +0,202*0,0156 + 0,172*0,0357 + 0,201*0,078 + 0,112*0,0692 + 0,143* *0,1438 + 0,067*0,1302 + 0,046*0,5268) = 0,7113 (71,13%).

Другой коэффициент, оценивающий степень концентрации, называется коэффициентом Лоренца. Рассмотрим сумму

,

По известному свойству модуля

.

Число 2 получается в пределе, если практически 100% ресурсов сосредоточены у бесконечно малой доли владельцев. Поэтому, чем ближе к 2 эта сумма, тем выше концентрация ресурсов, тем неравномернее они распределены.

Коэффициент Лоренца определяется так:

.

Для нашего случая получаем:

L = (1/2)*(0,057 - 0,0007 + 0,202 - 0,0156 + 10,172 - 0,0357+ +0,201 - 0,0780 + 0,112 - 0,0692 + 0,143 - 0,1438 + 0,067 - 0,1302 + +0,046 - 0,5268)*100% = 54,5%.

Полученные значения коэффициентов Джини и Лоренца говорят о высокой степени концентрации земли на крупных фермах.