6.2. Немного теории

Только что мы находили число ².

,

где k – число интервалов; n_i – частота i-го интервала;

р_i – теоретическая вероятность попадания случайной величины Х (генеральной совокупности) в i-й интервал;

n – число независимых испытаний (объем выборки);

nр_i – математическое ожидание числа попаданий случайной величины Х в i-й интервал

Но на приведенную формулу можно посмотреть и по-другому. Вместо числа n_i рассмотрим случайную величину n_i (в математической статистике случайные величины и их значения часто обозначаются одними и теми же маленькими буквами). Случайная величина n_i - это число появлений «успеха» в n независимых испытаниях, где под «успехом» понимается попадание случайной величины Х в i-й интервал. Таким образом, вероятность «успеха» равна р_i, а случайная величина n_i имеет биномиальное распределение с параметрами n и р_i. В частности, M(n_i) = np_i. Рассмотрим теперь случайную величину ², функцию от случайных величин n₁, n₂, …, n_k, определяемую формулой

.

Еще раз подчеркнем, что в этой формуле n и р_i – это числа, а n_i – это случайные величины. Имея выборку, мы можем найти значения случайных величин n_i, которые они приняли в результате n независимых испытаний, и вычислить затем значение _эксп – экспериментальное значение случайной величины ². Можно доказать, что если закон распределения генеральной совокупности Х подобран правильно, то с ростом n случайную величину ² можно считать распределенной по так называемому закону распределения ². Это непрерывное распределение, формулу функции плотности вероятности которого мы не будем здесь приводить. Распределение зависит от одного параметра r, который называется числом степеней свободы. В нашем случае

r = k-1-S,

где k – число интервалов;

S – число параметров закона распределения, вычисленных по выборке.

Возникает естественный вопрос: каким должно быть число n, чтобы его можно было считать «достаточно большим» и пользоваться распределением ²? Желательно, чтобы n было таким большим, чтобы все произведения np_i были не меньше 5 (рекомендация всех учебников по статистике). На самом деле, как показывает практика, вполне достаточно выполнения неравенств nр_i  1, n  50.

Примерный график функции плотности вероятности случайной величины ² показан на рис. 6.2.

Рис.6.2

Если закон распределения генеральной совокупности Х подобран правильно, экспериментальное значение _эксп, вычисленное на основании выборки, не может быть слишком большим. Зададимся достаточно большой вероятностью  ( = 0,9; 0,95; 0,99), так что события с вероятностью  = 1 -  будем считать практически невозможными. Вероятность  называют уровнем значимости.

С точки зрения подтверждения выдвинутой нами гипотезы о законе распределения генеральной совокупности Х мы должны считать практически невозможными большие значения случайной величины ². Мы считаем практически невозможными значения случайной величины ² из интервала (²_кр, ), где число ²_кр определяется из условия (см. рис.6.2)

p(² > ²_кр) =  .

Для распределения ² составлены специальные таблицы (приложение 3). По ним можно найти число ²_кр, зная  и число степеней свободы r. Число ²_кр сравнивают с числом ²_эксп. Если оказывается, что ²_эксп <²_кр, то говорят, что с точки зрения принятия выдвинутой гипотезы о законе распределения генеральной совокупности Х произошло достоверное событие. Гипотеза считается не противоречащей опытным данным и принимается. Если же оказывается, что ²_эксп > ²_кр, то выдвинутая гипотеза отвергается, считается, что она противоречит опытным данным.

В нашем случае k = 11, r = 11 - 1- 1 = 9 (по выборке был определен один параметр - ). Если положить  = 0,95 ( = 0,05 - наиболее употребительное значение уровня значимости), то по таблице распределения ² находим, что ²_кр = 16,92. Между тем ²_эксп = 2,45 < ²_кр. Так что мы можем считать, что случайная величина Х имеет показательное распределение с параметром  = 0,00115. Если бы мы объединили три последних интервала в один, то имели бы: r = 9 - 1 - 1 = 7; ²_кр = 14,07; ²_эксп = 2,33 < ²_кр.

Случайная величина ² называется критерием ². Критерий ² был предложен Карлом Пирсоном в 1900 г. До этого времени совпадение экспериментальных результатов с теоретическими оценивалось по тому, как они выглядят на графике.

Нам осталось ответить на вопросы, поставленные в пункте 6.1. Мы считаем справедливым показательный закон с параметром  = 0,00115. Следовательно, М(Х) =1/  870 (ч).

р(Х > 1000) = е^-*1000 - е^- = е^-1,15  0,32;

р(Х < 200) = е⁰ - е^-*200 = 1 - е^-0,23  0,21.