3.5.6. Пример построения нелинейного уравнения регрессии

В качестве примера рассмотрим данные из табл. 3.4, где указаны объемы производства (x_i, 1000т) и фермерская цена (у_i долл. за 1т), скорректированная на индекс потребительских цен вишни в США в 1954 - 1969 гг.

Таблица 3.4

Год	1954	1955	1956	1957	1958	1959	1960	1961	1962	1963	1964	1965	1966	1967	1968	1969
xi	204	260	168	239	192	218	185	266	276	150	344	248	200	198	228	278
yi	267	174	228	208	225	243	227	217	163	345	154	165	299	325	294	188

Как правило, зависимость между ценой и объемом производства товара нелинейна. Диаграмма рассеяния для данного примера показана на рис. 3.5. Какой-либо отчетливой зависимости между значениями величин x и y на диаграмме рассеяния не видно. Но о приблизительно линейной или параболической зависимости сказать все же можно. Подкрепим эти рассуждения расчетами.

Рис. 3.5

Если вычислить по этим данным выборочный коэффициент корреляции, то получим, что r = -0,738, а это достаточно близко к 1. Ниже мы постараемся обосновать, почему парабола все-таки несколько лучше описывает эти данные, чем прямая. Коэффициенты системы линейных уравнений таковы:

n = 16; = 3654; = 870918; = 216509904;

= 560635921000; = 3722; = 817695; = 187221051.

Система для определения коэффициентов a, b, c параболического уравнения регрессии у = ах² + bx + с получилась такой:

Решение этой системы:

a = 0,00173; b = -1,723; c = 532,00.

Следовательно, у = 0,00173x² – 1,723х + 532.

Коэффициент а близок к нулю, это означает, что полученная парабола не слишком отличается от прямой линии.

Линейное уравнение регрессии, полученное по методу наименьших квадратов, таково: у = -0,887х +435,18.

Графики функций y₁(x) = -0,00173x² – 1,723x + 532 и

y₂(х) = -0,887х + 435,18 показаны на рис. 3.5.

Если теперь рассчитать суммы квадратов отклонений:

, ,

которые минимизируются при использовании метода наименьших квадратов, то, после округления, S₁ = 23953; S₂ = 23481. Разница, конечно, невелика, но рассеяние экспериментальных точек вокруг параболы все - таки меньше, чем вокруг прямой.

3.6. Расчет коэффициентов линейного уравнения регрессии по сгруппированным данным

При большом объеме n двумерной выборки ее группируют, получая т.н. корреляционную таблицу (табл. 3.5). Каждый из диапазонов значений составляющих двумерной выборки разбивают на несколько интервалов, как правило, одинаковой ширины. Затем подсчитывают частоты каждого из получившихся прямоугольников группировки – число пар двумерной выборки, попавших в данный прямоугольник.

Обозначения:

k – число интервалов группировки по составляющей x двумерной выборки;

x_i – середина i-го интервала группировки по составляющей x;

n_i – частота i-го интервала группировки по составляющей х, i = 1,2,..,k; m - число интервалов группировки по составляющей у;

y_j – середина j-гo интервала группировки по составляющей y;

l_j – частота j-го интервала группировки по составляющей у, j = 1,2,...,m;

n_ij – частоты прямоугольников группировки;

n – объем двумерной выборки.

Таблица 3.5

Середины интервалов xi	Середины интервалов yi y1 y2 … yj … ym	Сумма частот
x1	n11 n12 … n1j … n1m	n1
x2	n21 n22 … n2j … n2m	n2
……………..	……………..	……………..
xi	ni1 ni2 … nij … nim	ni
……………..	……………..	……………..
xk	nk1 nk2 … nkj … nkm	nk
Сумма частот	l1 l2 … lj … lm	n

Следующие соотношения очевидны:

Расчеты, выполненные по сгруппированной выборке, отличаются, конечно, от расчетов, выполненных непосредственно по исходным данным. Разница получается вследствие перехода к серединам интервалов. Но она, как правило, невелика, а вычисления по сгруппированной выборке получаются намного проще.